Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 5

Aufgaben

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass die Spektrumsabbildung zur Reduktion

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {n}}_{R}$

eines kommutativen Ringes ${}R$ eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Beschreibe das Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$ einer Lokalisierung eines kommutativen Ringes ${}R$ an einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.

Aufgabe *

Bestimme für die Ringerweiterung

${}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}\,$

die Faserringe zu den Primzahlen ${}p=2,3,5,11$. Bestimme insbesondere, ob sie reduziert sind, ob ein Körper vorliegt, wie viele Primideale sie enthalten und wie die Restekörper aussehen.

Zur vorstehenden Aufgabe vergleiche auch Aufgabe 18.9.

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)$. Bestimme die Primideale in ${}R$, die über den Primzahlen ${}p=2,3,5,7$ liegen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Bestimme die Fasern zur Spektrumsabbildung zur Ringerweiterung ${}R\subseteq R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$- Algebren. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$. Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$, ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$, gibt derart, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann ${}R_{\mathfrak {m}}$ auch eine Lokalisierung von ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu ${}\mathbb {R} [X]\subseteq {\mathbb {C} }[X]$.

Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu ${}\mathbb {Q} [X]\subseteq \mathbb {R} [X]$. Welche sind endlich?

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe. Zeige, dass ${}A$ genau dann eine ${}R$- Algebra ist, wenn ${}A$ ein ${}R$- Modul ist, für den zusätzlich

$r(ab)=(ra)b{\text{ für alle }}r\in R,\,a,b\in A$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ auf genau eine Weise die Struktur eines ${}\mathbb {Z}$- Moduls trägt. Kommutative Gruppen und ${}\mathbb {Z}$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Modul über dem kommutativen Ring ${}R$. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{k}\in R$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige

${}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ zwei ${}R$- Moduln und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für einen ${}R$- Untermodul ${}S\subseteq M$ ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untermodul von ${}N$.
2. Insbesondere ist das Bild ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (M)$ der Abbildung ein Untermodul von ${}N$.
3. Für einen Untermodul ${}T\subseteq N$ ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untermodul von ${}M$.
4. Insbesondere ist der Kern ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untermodul von ${}M$.

Aufgabe *

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}L$ ein ${}K$- Vektorraum ist.

Aufgabe *

Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}1$. Zeige, dass ${}L=K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}L$ ein Körper und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

ein Automorphismus. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf den Primkörper von ${}L$ die Identität ist.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ das Inverse von ${}2+5{\sqrt {7}}$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in L$ Elemente, die eine ${}K$- Basis von ${}L$ bilden. Sei ${}x\in L$, ${}x\neq 0$. Zeige, dass auch ${}xv_{1},\ldots ,xv_{n}\in L$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein ${}x\in L$, ${}x\notin K$, mit ${}x^{2}\in K$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {C} }\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige ${}{\mathbb {C} }=L$.

Aufgabe *

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}p$, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Es sei ${}x\in L$, ${}x\not \in K$. Zeige, dass ${}K[x]=L$ ist.

Aufgabe

Bestimme den Grad von

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt[{3}]{2}}]\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ vom Grad ${}n$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine ${}K$- Basis von ${}L$. Zeige, dass die Multiplikation auf ${}L$ durch die Produkte

$x_{i}x_{j},1\leq i\leq j\leq n,$

eindeutig festgelegt ist.

Aufgabe

Es seien ${}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }$ und ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }$ zwei endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}d$ bzw. ${}e$. Es seien ${}d$ und ${}e$ teilerfremd. Zeige, dass dann

${}K\cap L=\mathbb {Q} \,$

ist.

Aufgabe

Zeige, dass man ${}{\sqrt {3}}$ nicht als ${}\mathbb {Q}$- Linearkombination von ${}1$ und ${}{\sqrt {2}}$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}p$ eine Primzahl. Es sei ${}a\in K$ ein Element, das in ${}K$ keine ${}p$-te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{p}-a$ irreduzibel ist.

Aufgabe *

Das Polynom ${}F=X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel und definiert daher eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ sei mit ${}\alpha$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus ${}L$

${}\beta =\alpha ^{2}-2\,$

und

${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$

Nullstellen von ${}F$ sind.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Zeige, dass es dann die folgenden drei Möglichkeiten gibt.

1. ${}L$ ist ein Körper.
2. ${}L$ ist von der Form ${}L=K[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$.
3. ${}L$ ist der Produktring ${}L=K\times K$.

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ nicht endlich ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ die Menge aller Zwischenkörper zwischen ${}\mathbb {Q}$ und ${}{\mathbb {C} }$. Für Körper ${}K_{1},K_{2}\in M$ setzen wir ${}K_{1}\sim K_{2}$, falls es einen Körper ${}L\in M$ mit ${}K_{1}\subseteq L$ und ${}K_{2}\subseteq L$ endlich gibt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Ist ${}\mathbb {R} \sim {\mathbb {C} }$?
3. Ist ${}\mathbb {Q} \sim {\mathbb {C} }$?

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} (X)$, wobei ${}\mathbb {R} (X)$ den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte. Zeige, dass die ${}e$-te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus

$F\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

durch ${}f\mapsto f^{q}$ mit ${}q=p^{e}$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik ${}p>0$. Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{p}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{q}$ für ${}p=2$ und ${}q=4$ bzw. ${}q=8$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl mit ${}p=3\mod 4$ und sei

${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq \mathbb {Z} /(p)[{\mathrm {i} }]=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}+1\right)}={\mathbb {F} }_{p^{2}}\,$

die quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Z} /(p)$. Zeige, dass die Konjugation ${}{\mathrm {i} }\mapsto -{\mathrm {i} }$ mit dem Frobeniushomomorphismus ${}f\mapsto f^{p}$ übereinstimmt.