Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $B$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ B^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
und sei $X^n-u$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $B[X]$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { B[X]/ { \left( X^n-u \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist, falls $n$ eine Einheit in $B$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $B$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{,}
in dem $2$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
sei, und sei $p$ eine
\definitionsverweis {Ortsuniformisierende}{}{}
von $B$. Bestimme, für welche $m$ der Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {B[X]/ { \left( X^2-p^m \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Ringerweiterung}{}{}
von $\Z$. Zeige, dass $S$ genau dann
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist, wenn für jede
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
\mathl{S_{\Z \setminus \Z p}}{} normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für welche Primzahlen $p$ das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2+3
}
{ \in }{ \Z/(p)[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist bzw. in einfache
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{}
zerfällt. Für welche Primzahlen ist $\Z_{(p)}[X]/(X^2-3)$
\definitionsverweis {normal}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass das Polynom $X^3+X+1$ in $\Z[X]$ irreduzibel ist.
}{Bestimme die Primfaktorzerlegung von $X^3+X+1$ in
\mathl{\Z/(3) [X]}{.}
}{Bestimme die Primfaktorzerlegung von $X^3+X+1$ in
\mathl{\Z/(31) [X]}{.}
}{Man finde eine positive Zahl $n$ derart, dass für alle Primzahlen $p$, die $n$ nicht teilen, der Faserring $\Z/(p)[X]/ { \left( X^3+X+1 \right) }$ reduziert ist.
}{Bestimme, ob
\mathl{\Z[X]/{ \left( X^3+X+1 \right) }}{} ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Satz 9.8 mit Korollar 15.3 und einer Sonderbetrachtung für diejenigen Primzahlen, die dadurch nicht abgedeckt sind.
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} heißt \definitionswort {separabel}{,} wenn es über keinem
\definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mehrfache Nullstellen besitzt.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{$P$ ist
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
}{Es gibt eine Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $P$ über $L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
}{$P$ und die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$P'$ sind
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
}{$P$ und die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$P'$ erzeugen das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{P \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {separables Polynom}{}{.}
Zeige, dass ein Teiler
\mathl{F \in K[X]}{} von $P$ ebenfalls separabel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ \Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom, das in $\Q[X]$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist. Zeige, dass für alle Primzahlen $p$ bis auf endlich viele Ausnahmen alle Primpolynome in der
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ \Z/(p)[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einfach sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\maabbeledisp {} {K[Y]} {K[X] \cong K[Y][X]/(Y-X^n)
} {Y} {X^n
} {,}
die $n$-te Potenzabbildung. Bestimme zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
über $(Y-b)$. Wann sind alle Primfaktoren von $X^n-b$ einfach?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass die Polynome
\mathl{X^n -p \in \Q[X]}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein Polynom der Form
\mathl{X^n-p^2 \in \Q[X]}{} mit einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ im Allgemeinen nicht
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $B$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Zu einem von $0$ verschiedenen
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{B[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mathl{\operatorname{ord} (P)}{} die minimale
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der Koeffizienten von $P$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} (P Q)
}
{ =} {\operatorname{ord} (P) + \operatorname{ord} (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$K$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {teilerfremden}{}{}
Koeffizienten. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P) R[X]
}
{ =} { R[X] \cap (P)K[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige ferner, dass die Voraussetzung über die Teilerfremdheit notwendig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$K$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {teilerfremden}{}{}
Koeffizienten, das in $K[X]$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
sei. Zeige, dass $P$ auch in $R[X]$ irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{\Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein ganzzahliges normiertes Polynom, dass in $\Q[X]$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
sei. Zeige, dass $P$ auch in $\Z[X]$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine endlichdimensionale, \definitionsverweis {reduzierte}{}{} $K$-Algebra. Zeige, dass dann $A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von $K$ ist.
}
{} {}