Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Zwei Elemente $a$ und $b$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißen \definitionswort {assoziiert}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ub
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring $R$
\aufzaehlungsechs{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{1 | a}{} und
\mathl{a | a}{.}
}{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{a | 0}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{b | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | c}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{c | d}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bd}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bc}{} für jedes
\mathl{c \in R}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{a | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | rb+sc}{} für beliebige Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.
\aufzaehlungzwei {Sind $a$ und $b$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{,}
so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$.
} {Ist $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
so gilt hiervon auch die Umkehrung.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.
\aufzaehlungvier{$-1$ ist eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{,}
die zu sich selbst invers ist.
}{Jede Einheit teilt jedes Element.
}{Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$.
}{Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $f,g$ \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$. Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} \anfuehrung{kürzen}{} kann? Beweise diese Eigenschaft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem
\mathl{f \in R}{} sei
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,}
die Multiplikation mit $f$. Zeige, dass $\mu_f$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.
Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {g} {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
aber kein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei $f_j$,
\mathl{j \in J}{,} eine Familie von Elementen in $R$. Es sei angenommen, dass die $f_j$ zusammen das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{} erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie $f_j$,
\mathl{j \in J_0 \subseteq J}{} gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
eine aufsteigende Kette von
\definitionsverweis {Idealen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass $p$ genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, wenn es genau zwei
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
oberhalb von
\mathl{(p)}{} gibt, nämlich
\mathl{(p)}{} selbst und
\mathl{(1)= R}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $K[X]$ über einem Körper $K$ die Variable $X$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} und \definitionsverweis {prim}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{,} wobei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
sei, die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
und die
\definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{.}
Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1
}
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für $u$ ungerade.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass ein Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
zwei oder drei genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, wenn es keine Nullstelle in $K$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $X^6-1$ über den
\definitionsverweis {Körpern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\Q, \R, {\mathbb C}, \Z/(7)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\Z/(5)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die \definitionsverweis {Irreduzibilität}{}{} der folgenden Polynome aus $\Q[X]$ nachzuweisen. \aufzaehlungdrei{ $X^4+2X^2+2$, }{ $20X^5-15X^4+125X^3-10X+4$, }{ $X^4+9$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_2 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $2,3,4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom Grad $3$. Zeige, dass $F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^3-3X+1} { }
über $\Q$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^3-3X-1} { }
über $\Q$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine
\zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge der Faktoren} {} {}
eindeutige Produktdarstellung
\mathdisp {F = a F_1 \cdots F_r} { }
mit
\mathl{a \in K^{\times}}{} und
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{}
\definitionsverweis {normierten}{}{} Polynomen
\mathbed {F_i} {}
{i=1 , \ldots , r} {}
{} {} {} {,}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $F$ ein normiertes Polynom aus $\Z[X]$ und es gebe eine Primzahl $q$ mit der Eigenschaft, dass $F$ modulo $q$, also aufgefasst in $\Z/(q) [X]$,
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
sei. Zeige, dass dann schon $F$ irreduzibel ist.
}{Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
}{Es sei $p$ eine Primzahl und $G \in \Z/(p) [X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom
\mathl{F\in \Z[X]}{} gibt, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Z[X]$ und der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen
\mathl{K[X,Y]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ keine
\definitionsverweis {Hauptidealbereiche}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in $\Z[X]$ die
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ = }{ { \left( X^6+X^3+1, 6X^5+3X^2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak b}
}
{ = }{ { \left( X^6+X^3+1, 3X^3-3 ,9 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmen. Bestimme die Anzahl der Elemente im
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{p \in R}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
Zeige, dass $p$ auch im Polynomring
\mathl{R[X]}{} prim ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Bestimme in
\mathl{K[X]}{} die
\definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
Polynome in
\mathl{K[X]}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad
\mathkor {} {1} {oder} {2} {}
schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mathl{a \in L}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {L
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{
\mathl{(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)}{,}
}{
\mathl{(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)}{,}
}{
\mathl{1(a)=1}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf einem endlichdimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbeledisp {} {K[X]} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
} {P} {P(\varphi)
} {,}
der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element
\mathl{a \in L}{} zu einer
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen Einsetzungshomomorphismus
\mathl{P \mapsto P(a)}{.}
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben benutzen das Produkt von Idealen.
Zu zwei
\definitionsverweis {Idealen}{}{}
${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
wird das
\definitionswort {Produkt}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}{\mathfrak b}
}
{ =} { { \left\{ a_1b_1 +a_2b_2 + \cdots + a_kb_k \mid a_i \in {\mathfrak a} , \, b_i \in {\mathfrak b} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
Für das $n$-fache Produkt eines Ideals ${\mathfrak a}$ mit sich selbst schreibt man ${\mathfrak a}^n$.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \definitionsverweis {Hauptidealen}{}{} wieder ein Hauptideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}, {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a} \cap {\mathfrak b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^n,\, n \in \N_+}{,} alle dasselbe
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (I+J)^n
}
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}