Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${}u\in R$ derart gibt, dass ${}a=ub$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring ${}R$:

1. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}1|a$ und ${}a|a$.
2. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}a|0$.
3. Gilt ${}a|b$ und ${}b|c$, so gilt auch ${}a|c$.
4. Gilt ${}a|b$ und ${}c|d$, so gilt auch ${}ac|bd$.
5. Gilt ${}a|b$, so gilt auch ${}ac|bc$ für jedes ${}c\in R$.
6. Gilt ${}a|b$ und ${}a|c$, so gilt auch ${}a|rb+sc$ für beliebige Elemente ${}r,s\in R$.

Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring ${}R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. Sind ${}a$ und ${}b$ assoziiert, so gilt ${}a|c$ genau dann, wenn ${}b|c$.
2. Ist ${}R$ ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring ${}R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. ${}-1$ ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
2. Jede Einheit teilt jedes Element.
3. Sind ${}a$ und ${}b$ assoziiert, so gilt ${}a|c$ genau dann, wenn ${}b|c$.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}f,g$ Nichtnullteiler in ${}R$. Zeige, dass das Produkt ${}fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

Aufgabe *

Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem Integritätsbereich „kürzen“ kann? Beweise diese Eigenschaft.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${}f\in R$ sei

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

die Multiplikation mit ${}f$. Zeige, dass ${}\mu _{f}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$ eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Elementen in ${}R$. Es sei angenommen, dass die ${}f_{j}$ zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie ${}f_{j}$, ${}j\in J_{0}\subseteq J$ gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Zeige, dass ${}p$ genau dann irreduzibel ist, wenn es genau zwei Hauptideale oberhalb von ${}(p)$ gibt, nämlich ${}(p)$ selbst und ${}(1)=R$.

Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ die Variable ${}X$ irreduzibel und prim ist.

Aufgabe

Bestimme im Polynomring ${}K[X]$, wobei ${}K$ ein Körper sei, die Einheiten und die Assoziiertheit. Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter?

Aufgabe

Beweise die Formel

${}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,$

für ${}u$ ungerade.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}X^{6}-1$ über den Körpern ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)$ und ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus ${}\mathbb {Q} [X]$ nachzuweisen.

1. ${}X^{4}+2X^{2}+2$,
2. ${}20X^{5}-15X^{4}+125X^{3}-10X+4$,
3. ${}X^{4}+9$.

Aufgabe

Bestimme im Polynomring ${}F_{2}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}2,3,4$.

Aufgabe

Bestimme im Polynomring ${}F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}3$.

Aufgabe

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$. Zeige, dass ${}F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

Aufgabe *

Zeige, dass das Polynom

$X^{3}-3X+1$

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe *

Zeige, dass das Polynom

$X^{3}-3X-1$

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

$F=aF_{1}\cdots F_{r}$

mit ${}a\in K^{\times }$ und irreduziblen normierten Polynomen ${}F_{i}$, ${}i=1,\ldots ,r$, gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ${}T$ ein Teiler von ${}P$. Zeige, dass ${}T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors ${}X-a$ in ${}T$ durch seine Vielfachheit in ${}P$ beschränkt ist.

Aufgabe *

1. Es sei ${}F$ ein normiertes Polynom aus ${}\mathbb {Z} [X]$ und es gebe eine Primzahl ${}q$ mit der Eigenschaft, dass ${}F$ modulo ${}q$, also aufgefasst in ${}\mathbb {Z} /(q)[X]$, irreduzibel sei. Zeige, dass dann schon ${}F$ irreduzibel ist.
2. Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
3. Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}G\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ gibt, das modulo ${}p$ mit ${}G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} [X]$ und der Polynomring in zwei Variablen ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ keine Hauptidealbereiche sind.

Aufgabe

Zeige, dass in ${}\mathbb {Z} [X]$ die Ideale ${}{\mathfrak {a}}={\left(X^{6}+X^{3}+1,6X^{5}+3X^{2}\right)}$ und ${}{\mathfrak {b}}={\left(X^{6}+X^{3}+1,3X^{3}-3,9\right)}$ übereinstimmen. Bestimme die Anzahl der Elemente im Restklassenring.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass ${}p$ auch im Polynomring ${}R[X]$ prim ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in ${}K[X]$ die irreduziblen Polynome.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in ${}K[X]$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man ${}P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad ${}1$ oder ${}2$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}a\in L$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi \colon K[X]\longrightarrow L,\,P\longmapsto P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).

1. ${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$,
2. ${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$,
3. ${}1(a)=1$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum und

$K[X]\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(V\right)},\,P\longmapsto P(\varphi ),$

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element ${}a\in L$ zu einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus ${}P\mapsto P(a)$.

Die folgenden Aufgaben benutzen das Produkt von Idealen.

Zu zwei Idealen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\left\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}},\,b_{i}\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$

definiert.

Für das ${}n$-fache Produkt eines Ideals ${}{\mathfrak {a}}$ mit sich selbst schreibt man ${}{\mathfrak {a}}^{n}$.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass die Beziehung

${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass die Potenzen ${}{\mathfrak {a}}^{n},\,n\in \mathbb {N} _{+}$, alle dasselbe Radikal besitzen.

Aufgabe *

Es seien ${}I$ und ${}J$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige die Gleichheit

${}(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$