Polynom/Modulo p/Irreduzible Liftung über Z/Aufgabe

1. Es sei ${}F$ ein normiertes Polynom aus ${}\mathbb {Z} [X]$ und es gebe eine Primzahl ${}q$ mit der Eigenschaft, dass ${}F$ modulo ${}q$, also aufgefasst in ${}\mathbb {Z} /(q)[X]$, irreduzibel sei. Zeige, dass dann schon ${}F$ irreduzibel ist.
2. Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
3. Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}G\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ gibt, das modulo ${}p$ mit ${}G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.

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