Nehmen wir an, dass nicht irreduzibel ist. Es gibt dann eine Zerlegung
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in , wobei ebenfalls normierte Polynome sind, die einen kleineren Grad als besitzen. Da die Reduktion modulo ein Ringhomomorphismus
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ist, der für normierte Polynome den Grad unverändert lässt, folgt sofort eine Faktorzerlegung
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die der Irreduzibilität von in widerspricht.
Es sei nun ein normiertes Polynom vom Grad . Es sei eine weitere Primzahl. Da es einen Körper mit Elementen gibt, und da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers
nach Fakt
von einem Element erzeugt wird, ist eine
einfache
endliche Körpererweiterung
von . Also ist
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mit einem normierten irreduziblen Polynom . Es sei
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ein normiertes ganzzahliges Polynom, das modulo mit übereinstimmt. Diese Eigenschaft ändert sich nicht, wenn wir Vielfache von mit zwischen
und
dazuaddieren. Wir behaupten, dass wir durch solche Additionen erreichen können, dass die Reduktion modulo zum irreduzibeln Polynom wird. Aus Teil (1) folgt dann, dass dieses neue irreduzibel ist. Die Abänderung können wir komponentenweise durchführen. Es sei
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mit . Da in eine Einheit ist, erzeugt es als Gruppe , d.h. durchläuft alle Elemente von . Somit kann man durch Addition eines Vielfachen von erreichen, dass modulo mit übereinstimmt.