Polynom/Modulo p/Irreduzible Liftung über Z/Aufgabe/Lösung


  1. Nehmen wir an, dass nicht irreduzibel ist. Es gibt dann eine Zerlegung

    in , wobei ebenfalls normierte Polynome sind, die einen kleineren Grad als besitzen. Da die Reduktion modulo ein Ringhomomorphismus

    ist, der für normierte Polynome den Grad unverändert lässt, folgt sofort eine Faktorzerlegung

    die der Irreduzibilität von in widerspricht.

  2. Es sei , wobei diese Darstellung unmittelbar zeigt, dass nicht irreduzibel in ist. Für ist die Reduktion modulo gleich , doch dies ist, da eine Einheit in ist, assoziiert zum irreduziblen Polynom .
  3. Es sei nun ein normiertes Polynom vom Grad . Es sei eine weitere Primzahl. Da es einen Körper mit Elementen gibt, und da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers nach Fakt von einem Element erzeugt wird, ist eine einfache endliche Körpererweiterung von . Also ist

    mit einem normierten irreduziblen Polynom . Es sei

    ein normiertes ganzzahliges Polynom, das modulo mit übereinstimmt. Diese Eigenschaft ändert sich nicht, wenn wir Vielfache von mit zwischen und dazuaddieren. Wir behaupten, dass wir durch solche Additionen erreichen können, dass die Reduktion modulo zum irreduzibeln Polynom wird. Aus Teil (1) folgt dann, dass dieses neue irreduzibel ist. Die Abänderung können wir komponentenweise durchführen. Es sei

    mit . Da in eine Einheit ist, erzeugt es als Gruppe , d.h. durchläuft alle Elemente von . Somit kann man durch Addition eines Vielfachen von erreichen, dass modulo mit übereinstimmt.