Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 3
- Übungsaufgaben
Die folgenden Aufgaben betrachten Ringeigenschaften am Beispiel von Ringen von stetigen Funktionen.
Wir betrachten die Menge der stetigen Funktionen von nach . Zeige, dass (mit naheliegenden Verknüpfungen) ein kommutativer Ring ist. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?
Zeige, dass es im Ring der stetigen Funktionen Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.
Es sei ein metrischer Raum und der Ring der stetigen Funktion auf . Zeige, dass zwei zueinander assoziierte Elemente die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.
Zeige, dass es stetige Funktionen
mit derart gibt, dass für alle weder noch die Nullfunktion ist.
![{\displaystyle {}f{|}_{[0,\delta ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5751d13748e7aa180f6cea5af4eac6f392fd15c4)
![{\displaystyle {}g{|}_{[0,\delta ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ab34c6c7ffe9e24ee7dbe1be3ce273ab689974)
Es seien und topologische Räume und
eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus
induziert.
Zeige, dass zu der Einsetzungshomomorphismus
![{\displaystyle {\mathbb {C} }[X]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6208aa9c41366a808c3b33b5b7ed7739d1803520)
mit der Evaluationsabbildung (in den Restekörper ) zum Primideal übereinstimmt.
![{\displaystyle {\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}/(X-a){\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3df940d8a061c88e1111339210046022f8e6430)
Es sei , , und . Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von an der Stelle übereinstimmen.
![{\displaystyle {}f\in {\mathbb {C} }[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5f04ccba67cc9a9483a52c7818ab3330c89c34)
- Die Verschwindungsordnung von an der Stelle , also die maximale Ordnung einer Ableitung mit .
- Der Exponent des Linearfaktors in der Zerlegung von in irreduzible Polynome.
- Die Ordnung von an der Lokalisierung von am maximalen Ideal .
![{\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371d847c763e8904148f2e8818b1e7b5bb8269e4)
![{\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c156a1899277cd3bf3b7edc239bc1abafd7339a7)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
![{\displaystyle K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091b202805e08cc0b2786b572e72b0b71a108ab2)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch definierte Einsetzungshomomorphismus von nach injektiv ist und dass der durch erzeugte Unterring isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.
![{\displaystyle {}P\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4692e3ffcbd66e900f8975113ff3f32f1cabc21a)
![{\displaystyle {}K[P]\subseteq K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34d8f7fb89c600e27fbcd2ce5447699e867975e)
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ein Körper ist.
Es sei ein kommutativer Ring und sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal mit gibt.
Es sei ein Integritätsbereich und sei keine Einheit. Dann ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Ideal ein Primideal ist.
Es sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
Es sei ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in gibt.
Zeige, dass ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring ein Primideal ist.
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring
Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.
Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.
Bestimme sämtliche Primkörper.
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann der Nullring ist, wenn sein Spektrum leer ist.
Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes in der Tat eine Topologie ist.
Beweise Proposition 3.16.
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa91a5bfd911769c2c190f03a767d15f5f376af4)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192c251bd578fa7224f44f5d4539c9813b31aa46)
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