Polynomring/Verschwindungsordnung/Analogie zu Zahlbereich/Aufgabe

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}f\neq 0$, und ${}a\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit ${}f^{(k)}(a)=0$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$ in irreduzible Polynome.
3. Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}{\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}$ von ${}{\mathbb {C} }[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.

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