Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
ohne
\definitionsverweis {reelle Einbettung}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eines jeden Elementes
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
positiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Anzahl der reellen und der
\definitionsverweis {komplexen Einbettungen}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { \Q[X]/ { \left( X^3+2X-1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ \Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein normiertes irreduzibles Polynom vom Grad $d$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Q[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Woran erkennt man am
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von $P$ die Anzahl der
\definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{}
und die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen von $K$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für $\Z$ für die \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{} $1$ \zusatzklammer {und die Ganzheitsbasis $-1$} {} {} die \definitionsverweis {komplexe Ganzheitsmatrix}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{} $1, { \mathrm i}$ von $\Z[ { \mathrm i} ]$ die \definitionsverweis {komplexe Ganzheitsmatrix}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{.} Bestimme den Flächeninhalt der \definitionsverweis {Grundmasche}{}{} des zugehörigen \definitionsverweis {Gitters}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{}
zur
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{1,\sqrt[3]{2} , \sqrt[3]{4}}{} des kubischen
\definitionsverweis {Zahlbereiches}{}{}
\mathl{\Z[ \sqrt[3]{2} ]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{}
zur
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{\zeta,\zeta^2, \zeta^3, \zeta^4}{} des fünften
\definitionsverweis {Kreisteilungsringes}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{ e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ 5 } } }
}
{ = }{ \cos { \frac{ 2 \pi }{ 5 } } + { \mathrm i} \sin { \frac{ 2 \pi }{ 5 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die primitive fünfte Einheitswurzel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{}
zur
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{1, X,X^2, X^3}{} des achten
\definitionsverweis {Kreisteilungsringes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_8
}
{ =} { \Z[X]/ { \left( X^4+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Verwende, dass die komplexen Einbettungen dadurch gegeben sind, dass $X$ auf eine primitive achte Einheitswurzel abgebildet wird, und dass diese die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{ \pm { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \pm { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$. Zeige, dass für die Anzahl $r$ der
\definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{} $R$ mit der Eigenschaft, dass der Flächeninhalt der \definitionsverweis {Grundmasche}{}{} des zugehörigen \definitionsverweis {Gitters}{}{} $\Gamma_R$ gleich $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Studiere den Beweis zu Satz 25.6 am Beispiel von $\Z[ { \mathrm i} ]$
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Überprüfe
Satz 25.6
am Beispiel des kubischen
\definitionsverweis {Zahlbereiches}{}{}
\mathl{\Z[ \sqrt[3]{2} ]}{}
\zusatzklammer {siehe
Lemma 16.5
zur Berechnung der Diskriminante und
Aufgabe 25.6
zur Bestimmung der reellen Ganzheitsmatrix} {} {.}
}
{} {}