Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 25

Aufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich ohne reelle Einbettung. Zeige, dass die Norm eines jeden Elementes ${}x\in R$, ${}x\neq 0$, positiv ist.

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der reellen und der komplexen Einbettungen von

${}K=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom vom Grad ${}d$ und ${}K=\mathbb {Q} [X]/(P)$. Woran erkennt man am Graphen von ${}P$ die Anzahl der reellen Einbettungen und die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen von ${}K$?

Aufgabe

Bestimme für ${}\mathbb {Z}$ für die Ganzheitsbasis ${}1$ (und die Ganzheitsbasis ${}-1$) die komplexe Ganzheitsmatrix und die reelle Ganzheitsmatrix.

Aufgabe

Bestimme für die Ganzheitsbasis ${}1,{\mathrm {i} }$ von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die komplexe Ganzheitsmatrix und die reelle Ganzheitsmatrix. Bestimme den Flächeninhalt der Grundmasche des zugehörigen Gitters.

Aufgabe *

Bestimme die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis ${}1,{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt[{3}]{4}}$ des kubischen Zahlbereiches ${}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$.

Aufgabe *

Bestimme die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis ${}\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3},\zeta ^{4}$ des fünften Kreisteilungsringes, wobei ${}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{5}}=\cos {\frac {2\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi }{5}}$ die primitive fünfte Einheitswurzel ist.

Aufgabe

Bestimme die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis ${}1,X,X^{2},X^{3}$ des achten Kreisteilungsringes

${}R_{8}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}\,.$

Verwende, dass die komplexen Einbettungen dadurch gegeben sind, dass ${}X$ auf eine primitive achte Einheitswurzel abgebildet wird, und dass diese die Gestalt ${}\zeta =\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\mathrm {i} }$ besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine Galoiserweiterung vom Grad ${}n$. Zeige, dass für die Anzahl ${}r$ der reellen Einbettungen ${}r=0$ oder ${}r=n$ gilt.

Aufgabe

Bestimme sämtliche quadratischen Zahlbereiche ${}R$ mit der Eigenschaft, dass der Flächeninhalt der Grundmasche des zugehörigen Gitters ${}\Gamma _{R}$ gleich ${}1$ ist.

Aufgabe

Studiere den Beweis zu Satz 25.6 am Beispiel von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$

Aufgabe *

Überprüfe Satz 25.6 am Beispiel des kubischen Zahlbereiches ${}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ (siehe Lemma 16.5 zur Berechnung der Diskriminante und Aufgabe 25.6 zur Bestimmung der reellen Ganzheitsmatrix).