Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 26

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass es ein Element ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale ${}{\mathfrak {m}}$ gilt:

$f\in {\mathfrak {m}}{\text{ genau dann, wenn }}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass es eine natürliche Zahl ${}m\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass das inverse Ideal ${}{\mathfrak {a}}^{-1}$ zu ${}{\mathfrak {a}}^{m}$ äquivalent ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass es ein ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines Zahlbereiches. Zeige, dass jede offene Menge von ${}X$ von der Form ${}D(f)$ mit einem ${}f\in R$ ist.

Aufgabe

Zeige mit Korollar 26.11, dass der Ring der Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{13}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=13$. Zeige mittels Korollar 26.11, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{-43}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-43$. Zeige mittels Korollar 26.11, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{-67}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-67$. Zeige mittels Korollar 26.11, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei ${}D$ quadratfrei und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei ${}D$ ein Vielfaches von ${}5$ und ${}D=2,3\mod 4$. Zeige: ${}A_{D}$ ist nicht faktoriell.

Tipp: Siehe Aufgabe 10.2.

Aufgabe

Zeige, dass der siebte Kreisteilungsring ${}R_{7}$ faktoriell ist.

Aufgabe *

Zeige, dass der achte Kreisteilungsring ${}R_{8}=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+1)$ faktoriell ist.

Bemerkung: Der Betrag der Diskriminante von ${}R_{8}$ ist ${}256$.