Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 3/latex

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\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

Die folgenden Aufgaben betrachten Ringeigenschaften am Beispiel von Ringen von stetigen Funktionen.


\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{C(\R,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{} von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass $R$ \zusatzklammer {mit naheliegenden Verknüpfungen} {} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist. Handelt es sich um einen \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es im Ring der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{C(\R,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{C(M,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Ring der stetigen Funktion auf $M$. Zeige, dass zwei zueinander \definitionsverweis {assoziierte}{}{} Elemente
\mathl{f,g \in R}{} die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es stetige Funktionen \maabbdisp {f,g} {\R_{\geq 0}} {\R } {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} weder
\mathl{f {{|}}_{[0, \delta]}}{} noch
\mathl{g {{|}}_{[0, \delta]}}{} die Nullfunktion ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { C(Y, \R)} {C(X, \R) } {f} { f\circ \varphi } {,} induziert.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Brent method example.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Brent method example.png } {} {Jitse Niesen} {Commons} {gemeinfrei} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}[X]} { {\mathbb C} } {X} {a } {,} mit der \definitionsverweis {Evaluationsabbildung}{}{} \zusatzklammer {in den \definitionsverweis {Restekörper}{}{} \mathlk{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}/ (X-a) {\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{}} {} {} zum \definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{} übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {f \in {\mathbb C}[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} und
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen. \aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.} }{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome. }{Die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $f$ an der Lokalisierung
\mathl{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} am maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixiertes Element. Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} des \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {K[X]} {K } {X} {a } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{P\in K[X]}{} ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch $X \mapsto P$ definierte \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} von $K[X]$ nach $K[X]$ injektiv ist und dass der durch $P$ erzeugte Unterring
\mathl{K[P] \subseteq K[X]}{} isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/I$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{} sei nicht \definitionsverweis {nilpotent}{}{.} Zeige, dass es ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ mit
\mathl{f \notin {\mathfrak p}}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei $0 \neq p \in R$ keine \definitionsverweis {Einheit}{}{.} Dann ist $p$ genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ \definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{} $(p) \subset R$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass $p$ genau dann ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/(p)}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige unter Verwendung des \definitionsverweis {Lemmas von Zorn}{}{,} dass es \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} in $R$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak m}}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { R/{\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.

}
{Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Primkörper}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann der \definitionsverweis {Nullring}{}{} ist, wenn sein \definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} leer ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} auf dem \definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ in der Tat eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise Proposition 3.16.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere das \definitionsverweis {Spektrum}{}{} von $\Z/(p) [X]$ für verschiedene Primzahlen $p$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere das \definitionsverweis {Spektrum}{}{} von $\Z[X]$.

}
{} {}