Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mathl{f_1, \ldots ,f_n \in R}{} eine $\Z$-Basis von $R$. Zeige, dass dann der Betrag der
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathdisp {{{|}}\triangle(f_1, \ldots , f_n){{|}}} { }
minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen $n$-Tupeln aus $R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
der
\definitionsverweis {Gaußschen Zahlen}{}{.}
Man gebe zwei wesentlich verschiedene $\Z$-Basen von
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{} an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
zur
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ { \mathrm i} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zur Basis
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
und zur Basis
\mathkor {} {2-5 { \mathrm i}} {und} {4+7 { \mathrm i}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
zur Basis $1,x,x^2$ der kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[X]/ { \left( X^3-5X^2+6X-3 \right) }
}
{ \defeqr} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$. Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem normierten Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ \Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $d$. Zeige, dass
\mathbed {x^i} {}
{i= 0 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
von $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde ganze Zahlen
\mathl{a,b,c,d,e,f}{} derart, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 10 & 15 \\ a & b & c \\d & e & f \end{pmatrix}} { }
gleich $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(a_1 , \ldots , a_n)}{} ein
\definitionsverweis {teilerfremdes}{}{}
Tupel von ganzen Zahlen. Zeige, dass es eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
gibt, die das Tupel als eine Zeile enthält und deren
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
gleich $\pm 1$ ist.
}
{} {Führe Induktion über das Minimum der Beträge des Tupels.}
Mit der vorstehenden Aufgabe kann man auch die folgende Aufgabe lösen.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es in einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} stets \definitionsverweis {Ganzheitsbasen}{}{} gibt, die die $1$ enthalten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{ \Q[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
mit einem normierten Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ \Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass nach
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
an $g$ eine
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_g
}
{ =} {\Z_g[X]/(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{} $R$, wo die \definitionsverweis {Spur}{}{} \maabb {} {R} {\Z } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} bzw. nicht surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mathbed {q=p^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass
\mathl{\Z/(p^n)}{} kein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über
\mathl{\Z/(p)}{} sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein endlicher \definitionsverweis {reduzierter}{}{} \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass $R$ ein Produkt von endlichen Körpern ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und sei $R$ eine endlichdimensionale $\Z/(p)$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} der Dimension $n$. Zeige, dass $R$ höchstens $n$ \definitionsverweis {Primideale}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathl{f \in R}{.} Zeige, dass
\mathl{N(f) \in (f)}{} ist, dass also die Norm zum von $f$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.
}
{} {}