Kurs:Analysis/Teil I/16/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 64 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Betrag} {} eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Ein \stichwort {lokales Minimum} {} einer Funktion
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
\zusatzklammer {\mathlk{D \subseteq \R}{} eine Teilmenge} {} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in D}{.}
}{Die Zahl $\pi$ \zusatzklammer {gefragt ist nach der analytischen Definition} {} {.}
}{Die
\stichwort {Potenzreihe} {}
in $z \in {\mathbb C}$ zu den Koeffizienten
\mathbed {c_n \in {\mathbb C}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
}{Die
\stichwort {Zeitunabhängigkeit} {}
einer
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { . }
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Der Betrag von
\mathl{x}{} ist folgendermaßen definiert.
\mathdisp {\betrag { x } = \begin{cases} x \text{ falls } x \geq 0 \\
-x \text{ falls } x < 0 \, . \end{cases}} { }
}{Der Grad eines von
\mathl{0}{} verschiedenen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_n \neq 0}{} ist $n$.
}{Man sagt, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \leq} { f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Es sei $s$ die
eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {reelle}{}{}
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
der
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{.} Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \defeq} { 2s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Potenzreihe in $z$ ist die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { . }
}{Die
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { }
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also
\mathl{f(t,y)=h(y)}{} gilt mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über beschränkte Teilmengen} {} von $\R$.}{Die \stichwort {Funktionalgleichung} {} der komplexen Exponentialfunktion.}{Der Satz über \stichwort {partielle Integration} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Jede nichtleere nach oben beschränkte
Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum
in $\R$.}{Für komplexe Zahlen
\mathl{z,w \in {\mathbb C}}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( z+w \right)
}
{ =} { \exp z \cdot \exp w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(t)g'(t) \, d t = fg | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } f'(t)g(t) \, d t} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{
Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen $n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis
\zusatzklammer {die Ja-Antworten} {} {}
in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab
\mathl{,5}{} nach oben gerundet wird.
a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der
\definitionsverweis {Gaußklammer}{}{}
$\lfloor \, \, \rfloor$, die bei gegebenem $n$ aus $i$ die Prozentzahl
\mathl{p(i)}{} berechnet.
b) Für welche $n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?
c) Es sei
\mathl{n=99}{.} Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?
d) Es sei
\mathl{n=101}{.} Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
e) Es sei
\mathl{n=102}{.} Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
}
{
a) Die ganze Prozentzahl wird bei $i$ Ja-Antworten von $n$ Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p(i)
}
{ =} {\left\lfloor 100 \cdot { \frac{ i }{ n } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
berechnet.
b) Für
\mathl{n \leq 99}{} ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als $1$ ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens $1$ erhöht. Für
\mathl{n=100}{} ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für
\mathl{n \geq 101}{} ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als $1$ ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens $1$ erhöht.
c) Die Prozentzahl $50$ kommt nicht vor. Für
\mathl{i=49}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 49 }{ 99 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 9800 + 99 }{ 198 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 9899 }{ 198 } } \right \rfloor
}
{ =} {49
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{198 \cdot 50
}
{ = }{9900
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und für
\mathl{i=50}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 50 }{ 99 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10000 + 99 }{ 198 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10099 }{ 198 } } \right \rfloor
}
{ =} {51
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{198 \cdot 51
}
{ = }{10098
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
d) Die Prozentzahl $50$ kommt doppelt vor. Für
\mathl{i=50}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 50 }{ 101 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10000 + 101 }{ 202 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10101 }{ 202 } } \right \rfloor
}
{ =} {50
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{202 \cdot 50
}
{ = }{10100
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und für
\mathl{i=51}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 51 }{ 101 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10200 + 101 }{ 202 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10301 }{ 202 } } \right \rfloor
}
{ =} {50
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{202 \cdot 51
}
{ = }{10302
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
e) Die Prozentzahl $25$ kommt doppelt vor. Für
\mathl{i=25}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 25 }{ 102 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2500 + 51 }{ 102 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2551 }{ 102 } } \right \rfloor
}
{ =} {25
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{102 \cdot 25
}
{ = }{2550
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und für
\mathl{i=26}{} ist das Ergebnis ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 26 }{ 102 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2600 + 51 }{ 102 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2651 }{ 102 } } \right \rfloor
}
{ =} {25
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{102 \cdot 26
}
{ = }{2652
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Wegen der Symmetrie der Situation
\zusatzklammer {bis auf die Rundung} {} {}
kommt auch die Prozentzahl $75$ doppelt vor, für
\mathl{i=76,77}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$. Zeige, dass die Produktfolge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Die konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} ist nach
Lemma 5.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
insbesondere
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
und daher existiert ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \leq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mathkor {} {x \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} x_n} {und} {y \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n} {.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \defeq }{\max \{D, \betrag { y } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen
\mathkor {} {N_1} {und} {N_2} {}
mit
\mathdisp {\betrag { x_n -x } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_1 \text{ und } \betrag { y_n -y } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_2} { . }
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max\{N_1,N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahlen gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_ny_n -xy }
}
{ =} { \betrag { x_ny_n-x_ny+x_n y-xy }
}
{ \leq} {\betrag { x_ny_n-x_ny } + \betrag { x_ny-xy }
}
{ =} { \betrag { x_n } \betrag { y_n-y } + \betrag { y } \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {C \frac{ \epsilon}{2C} + C \frac{ \epsilon}{2C}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.
}
{
Wenn $P$ ein Vielfaches von
\mathl{X-a}{} ist, so kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(X-a)Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ =} { (a-a) Q(a)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Allgemeinen gibt es
aufgrund der Division mit Rest
eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (X-a)Q +R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so muss der Rest
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein, und das bedeutet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (X-a)Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \geq }{g(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b)
}
{ \leq }{g(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ = }{g(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ \defeq} {f(x) -g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Funktion ist nach
[[Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt|Kurs:Analysis/Stetigkeit/K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
wieder stetig und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(a)
}
{ =} {f(a) -g(a)
}
{ \geq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(b)
}
{ =} {f(b) - g(b)
}
{ \leq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
dem Zwischenwertsatz
gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(c)
}
{ =} {0
}
{ =} {f(c) -g(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ =} {g(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.
}
{
Das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
der beiden Exponentialreihen ist
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty c_{ n }} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } \frac{z^{i} }{i!} \frac{ w^{n-i } }{ (n-i)!}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Reihe ist nach
Lemma 15.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{}
und der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von
\mathl{z+w}{}
nach der allgemeinen binomischen Formel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{(z+w)^n}{n!}
}
{ =} { \frac{1}{n!} \sum_{ i = 0 }^{ n } \binom { n } { i } z^{i} w^{n-i}
}
{ =} { c_n
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
sodass die beiden Seiten übereinstimmen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (3+3)}
{
Untersuche die Funktionenfolge
\maabbeledisp {} {\R_{> 0}} { \R
} {x} {f_n(x)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_n(x)
}
{ =} { x^{ { \frac{ n }{ n+1 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
a) punktweise Konvergenz und auf
b) gleichmäßige Konvergenz.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{ { \frac{ n }{ n+1 } } }
}
{ =} { e^{ { \frac{ n }{ n+1 } } \ln x }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für jedes
\mathl{x \in \R_{>0}}{} konvergiert die Folge
\mathl{{ \frac{ n }{ n+1 } } \ln x}{} gegen $\ln x$, da ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n }{ n+1 } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 1 + { \frac{ 1 }{ n } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $1$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion konvergiert somit die Ausgangsfolge
\mathl{x^{ { \frac{ n }{ n+1 } } }}{} gegen $x$. Es liegt also punktweise Konvergenz mit der Identität als Grenzfunktion vor.
b) Es liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. Beispielsweise gibt es zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kein $n_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { f_n(x)-x }
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $x$ und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Zu $n$ kann man nämlich
\mathl{x=2^{n+1}}{} betrachten und erhält
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f_n(2^{n+1})- 2^{n+1} }
}
{ =} { \betrag { { \left( 2^{n+1} \right) }^{ { \frac{ n }{ n+1 } } }- 2^{n+1} }
}
{ =} { \betrag { 2^n - 2^{n+1} }
}
{ =} { 2^n
}
{ >} {1
}
}
{}
{}{}
\zusatzklammer {für den letzten Schritt sei
\mathl{n \geq 1}{}} {} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (4+2)}
{
a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
jeweils tangential schneidet.
b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.
}
{
a) Das gesuchte Polynom sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { ax^2+bx+c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} {2ax+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bedingung, dass der Graph zu $f$ die Diagonale und die Gegendiagonale bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schneidet, bedeutet
\mathdisp {a+b+c=1 \text{ und } a-b+c=1} { . }
Die Steigung der Diagonale ist $1$. Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2a+b
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Steigung der Gegendiagonale ist $-1$. Dies bedeutet somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2a+b
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich mit der ersten
\zusatzklammer {oder der zweiten} {} {}
Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Für
\mathl{x \geq 0}{} ist zu zeigen, dass
\mathl{P(x)= { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \geq x}{} und für
\mathl{x \leq 0}{} ist zu zeigen, dass
\mathl{P(x) \geq -x}{} ist. Im ersten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x)-x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } -x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x^2 -2x +1 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x-1 \right) }^2
}
{ \geq} {0
}
}
{}{}{}
und im zweiten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x)-x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } +x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x^2 +2x +1 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x+1 \right) }^2
}
{ \geq} {0
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (1+1+3+2)}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sin x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Reellen.
a) Bestimme den Definitionsbereich von $f$.
b) Skizziere $f$ für $x$ zwischen \mathkor {} {-2 \pi} {und} {2 \pi} {.}
c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von $f$.
d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ von $f$ im Punkt ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin x
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn $x$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist. Der Definitionsbereich ist also
\mathl{\R \setminus \Z \pi}{.}
b)
c) Nach
der Quotientenregel
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime} (x)
}
{ =} { { \frac{ - \cos x }{ \sin^{ 2 } x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Weiterhin ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { { \frac{ \sin^{ 3 } x +2 \sin x \cos^{ 2 } x }{ \sin^{ 4 } x } }
}
{ =} {{ \frac{ \sin^{ 2 } x +2 \cos^{ 2 } x }{ \sin^{ 3 } x } }
}
{ =} {{ \frac{ 1+ \cos^{ 2 } x }{ \sin^{ 3 } x } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime \prime} (x)
}
{ =} { { \frac{ 2 \cos x { \left( - \sin x \right) } \sin^{ 3 } x -3 { \left( 1+ \cos^{ 2 } x \right) } \sin^{ 2 } x \cos x }{ \sin^{ 6 } x } }
}
{ =} { \cos x { \frac{ -2 \sin^{ 2 } x -3 { \left( 1+ \cos^{ 2 } x \right) } }{ \sin^{ 4 } x } }
}
{ =} {\cos x { \frac{ -5 - \cos^{ 2 } x }{ \sin^{ 4 } x } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
d) Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime } { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime \prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ gleich
\mathdisp {1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x- { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^2} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{} mit der Periode $L>0$.
a) Es sei $f$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} Zeige, dass die Ableitung $f'$ ebenfalls periodisch mit der Periode $L$ ist.
b) Man gebe ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen, \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {,} deren \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} nicht periodisch ist.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x+L)
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, { \frac{ f(x+L+h) -f(x+L) }{ h } }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, { \frac{ f(x+h) -f(x) }{ h } }
}
{ =} { f'(x)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher ist die Ableitung periodisch mit Periodenlänge $L$.
b) Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { 2 + \sin x
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Funktion ist periodisch mit der Periodenlänge
\mathl{2 \pi}{.} Die Stammfunktion ist
nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
streng wachsend, also nicht periodisch.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_{>0}} { \R } {x} {{ \frac{ e^{3x} }{ e^x-e^{-x} } } } {.}
}
{
Wir führen die Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \ln t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch und müssen dann für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(t)
}
{ =} { { \frac{ t^3 }{ t -t^{-1} } } \cdot { \frac{ 1 }{ t } }
}
{ =} { { \frac{ t^3 }{ t^2 -1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Stammfunktion finden
\zusatzklammer {\mathlk{t >1}{}} {} {.}
Division mit Rest ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t^3
}
{ =} {(t^2-1)t +t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Partialbruchzerlegung für
\mathdisp {{ \frac{ t }{ t^2 -1 } }} { }
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ t }{ t^2 -1 } }
}
{ =} { { \frac{ a }{ t -1 } } + { \frac{ b }{ t+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} { a(t+1) + b(t-1)
}
{ =} { (a+b)t +a-b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {b
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(t)
}
{ =} {t + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ t -1 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ t+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Stammfunktion davon ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln \left( t-1 \right) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln \left( t+1 \right)} { . }
Rüchsubstitution ergibt für
\mathl{f(x)}{} die Stammfunktion
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } e^{2x} + { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln \left( e^x-1 \right) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln \left( e^x+1 \right)} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (2+2+4)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {h(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {h} {\R} {\R
} {}
und es sei
\maabbdisp {y} {I} {\R
} {}
eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall $I$.
a) Drücke die zweite Ableitung von $y$ mit
\mathl{h,h'}{} und $y$ aus.
b) Drücke die dritte Ableitung von $y$ mit
\mathl{h,h',h^{\prime \prime}}{} und $y$ aus.
c) Zeige, dass die $n$-te Ableitung von $y$ die Form
\mathdisp {{ \left( \sum_{ \nu } a_{ \nu } { \left( \prod_{j = 0}^{n-1} { \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j} \right) } \right) } \circ y} { }
mit gewissen Zahlen
\mathl{a_{\nu} \in \N}{} für jedes $n$-Tupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\nu
}
{ = }{(\nu_0 , \ldots , \nu_{n-1})
}
{ \in }{ \N^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{\nu_j \leq n-1}{} besitzt.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'(t)
}
{ =} {h(y(t))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da es sich um eine Lösung handelt. Die rechte Seite ist differenzierbar, da
\mathkor {} {h} {und} {y} {}
differenzierbar sind, und nach der Kettenregel ist somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y^{\prime \prime} (t)
}
{ =} { { \left( h(y(t)) \right) }'
}
{ =} { h' (y(t)) y'(t)
}
{ =} { h' (y(t)) h (y(t))
}
{ =} { { \left( h' h \right) } ( y(t))
}
}
{}
{}{.}
b) Da $h$ beliebig oft differenzierbar ist, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { { \left( h' h \right) } \circ y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
differenzierbar, und es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y^{\prime \prime \prime} (t)
}
{ =} { { \left( { \left( h' h \right) } ( y(t)) \right) }'
}
{ =} { { \left( h^{\prime \prime}( y(t)) h ( y(t))+ h^\prime ( y(t)) h^\prime ( y(t)) \right) } \cdot y'(t)
}
{ =} { { \left( h^{\prime \prime}( y(t)) h ( y(t))+ h^\prime ( y(t)) h^\prime ( y(t)) \right) } \cdot h(y(t))
}
{ =} { h^{\prime \prime}( y(t)) h ( y(t)) h(y(t)) + h^\prime ( y(t)) h^\prime ( y(t)) h(y(t))
}
}
{}
{}{.}
c) Wir führen Induktion nach $n$. Die Aussage ist für
\mathl{n=1,2,3}{} richtig nach Teil a) und b), der Induktionsanfang ist also gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes von $n$ nach
\mathl{n+1}{} können wir von einer Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)}
}
{ =} { { \left( \sum_{ \nu } a_{ \nu } { \left( \prod_{j = 0}^{n-1} { \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j} \right) } \right) } \circ y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausgehen. Dies zeigt zunächst, dass $y$ auch
\mathl{(n+1)}{-}mal ableitbar ist. Zur Berechnung der Form der Ableitung genügt es, einen Summanden der Form
\mathdisp {{ \left( \prod_{j = 0}^{n-1} { \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j} \right) } \circ y} { }
zu betrachten. Die Ableitung davon ist nach der Ketten- und der Produktregel gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \left( \prod_{j = 0}^{n-1} { \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j} \right) }' \circ y \right) } \cdot y'
}
{ =} { { \left( { \left( \sum_{j = 0}^{n-1} \nu_j { \left( \prod_{j = 0}^{n-1}{ \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j -1} h^{(j+1)} \right) } \right) } \circ y \right) } \cdot y'
}
{ =} { { \left( { \left( \sum_{j = 0}^{n-1} \nu_j { \left( \prod_{j = 0}^{n-1}{ \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j -1} h^{(j+1)} \right) } \right) } \circ y \right) } \cdot { \left( h \circ y \right) }
}
{ =} { { \left( \sum_{j = 0}^{n-1} \nu_j { \left( \prod_{j = 0}^{n-1}{ \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j -1} h^{(j+1)} h \right) } \right) } \circ y
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dabei erhöht sich die höchste Ableitungs von $h$, die vorkommt, auf $n$, die Potenzen von $h^{(j)}$ erhöhen sich maximal um $1$ und die Koeffizienten sind nach wie vor aus $\N$. Daher liegt insgesamt wieder eine Form wie beschrieben vor.
}