Kurs:Analysis/Teil I/27/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	6	5	2	4	4	7	2	3	4	9	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gruppe.
2. Das Minimum einer Teilmenge ${}M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl ${}x$.
5. Die ${}n$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion

   $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer offenen Teilmenge ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$.

6. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.
2. Das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.
3. Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.

Aufgabe (3 Punkte)

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$

Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen ${}n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis (die Ja-Antworten) in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab ${},5$ nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der Gaußklammer ${}\lfloor \,\,\rfloor$, die bei gegebenem ${}n$ aus ${}i$ die Prozentzahl ${}p(i)$ berechnet.

b) Für welche ${}n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei ${}n=99$. Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei ${}n=101$. Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei ${}n=102$. Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}x\geq 2$ und ${}s>1$ reelle Zahlen. Zeige

${}1+x^{-s}<{\frac {1}{1-x^{-s}}}\leq 1+2x^{-s}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

${}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,$

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

1. Skizziere die Graphen der Funktionen

   $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x-1,$

   und

   $g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion ${}T\longrightarrow {\mathbb {K} }$, wobei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

${}f(x)={\frac {x^{2}-4x+5}{x-6}}\,$

im Punkt ${}a=-1$ bis zum Grad ${}\leq 2$.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei

${}P={\frac {1}{24}}X^{4}-{\frac {1}{2}}X^{2}+1\,.$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von ${}P$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${}{\frac {\pi }{2}}$?

Aufgabe * (9 (1+1+2+5) Punkte)

Es sei

${}f(x)=x^{2}-3x+2\,$

und

${}g(x)=2x+1\,.$

1. Bestimme die Nullstellen von ${}f$.
2. Bestimme das globale Minimum von ${}f$.
3. Finde mit einer Genauigkeit von ${}{\frac {1}{8}}$ ein ${}x\in [0,1]$ mit

   ${}f(x)=1\,.$

4. Die Graphen zu ${}f$ und zu ${}g$ begrenzen eine endliche Fläche. Skizziere die Situation und berechne den Flächeninhalt der eingegrenzten Fläche.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion zu

${}f(x)=x^{2}\ln x\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die konstanten Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {\cos \left(\cos t^{2}\right)-e^{t^{3}}}{(t^{4}+9)e^{-t^{2}}+{\sqrt {t^{4}+e^{t}}}}}{\left(y^{2}-y-3\right)}\,$