Kurs:Analysis/Teil I/28/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 3 | 4 | 6 | 4 | 4 | 10 | 5 | 5 | 5 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine rationale Zahl.
- Eine beschränkte Teilmenge eines angeordneten Körper .
- Die Gaußklammer zu einem Element in einem archimedisch angeordneten Körper .
- Die Kosinusreihe.
- Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion .
- Das
Oberintegral
einer nach oben beschränkten Funktion
auf einem beschränkten Intervall .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe .
- Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
- Der Satz über partielle Integration.
Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)
Folgende Aussagen seien bekannt.
- Der frühe Vogel fängt den Wurm.
- Doro wird nicht von Lilly gefangen.
- Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
- Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
- Doro ist ein Wurm.
- Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
- Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.
Beantworte folgende Fragen.
- Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
- Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
- Fängt der späte Igel den Wurm?
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass für positive natürliche Zahlen die Beziehung
gilt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)
Für die Eulersche Zahl seien die Abschätzungen
bekannt.
- Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?
- Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien die beiden komplexen Polynome
gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Zwischenwertsatz.
Aufgabe * (4 Punkte)
Finde eine reelle Lösung für die Gleichung
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die Extrema der Funktion
Aufgabe * (10 (1+2+3+4) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
mit
- Bestimme die erste und die zweite Ableitung von .
- Bestimme die Taylor-Entwicklung von im Punkt vom Grad .
- Bestimme die Nullstellen von .
- Bestimme die lokalen Extrema von .
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)
Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion
- Für welche reelle Zahl ist der Flächeninhalt der durch die -Achse, die Parabel und die durch bestimmte vertikale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ? Skizziere die Situation.
- Für welche reelle Zahl ist der Flächeninhalt der durch die Parabel und die durch bestimmte horizontale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ? Skizziere die Situation.
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.