Kurs:Analysis/Teil I/53/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 7 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Hintereinanderschaltung} {} der Abbildungen \maabbdisp {F} {L} {M } {} und \maabbdisp {G} {M} {N } {.}
}{Eine
\stichwort {untere Schranke} {}
einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Körper der komplexen Zahlen} {} \zusatzklammer {mit den Verknüpfungen} {} {.}
}{Ein \stichwort {lokales Maximum} {} einer Funktion
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
\zusatzklammer {\mathlk{D \subseteq \R}{} eine Teilmenge} {} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {Differenzierbarkeit in einem Punkt} {} $a \in {\mathbb K}$ einer Abbildung \maabb {f} {{\mathbb K} } {{\mathbb K} } {.}
}{Die \stichwort {Lösung eines Anfangswertproblems} {}
\mathdisp {y'=f(t,y) \text{ und } y(t_0)=y_0} { , }
zu einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung
\maabbeledisp {G \circ F} {L} {N
} {x} {G(F(x))
} {,}
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
\mathkor {} {F} {und} {G} {.}
}{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
untere Schranke
für $M$.
}{Die Menge
\mathdisp {\R^2} { }
mit
\mathkor {} {0 \defeq (0,0)} {und} {1 \defeq (1,0)} {,}
mit der komponentenweisen Addition und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a,b) \cdot (c,d)
}
{ \defeq} { (ac-bd, ad+bc)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
}{Man sagt, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \geq} { f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \in D \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
existiert.
}{Man nennt eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {y} {I} {\R
} {t} {y(t)
} {,}
auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{I\subseteq \R}{} eine Lösung des Anfangswertproblems
\mathdisp {y'=f(t,y) \text{ und } y(t_0)=y_0} { , }
wenn $y$ eine
\definitionsverweis {Lösung der Differentialgleichung}{}{}
ist und wenn zusätzlich
\mathdisp {y(t_0)=y_0} { }
gilt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das
\stichwort {Quotientenkriterium} {}
für eine komplexe Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{.}}{Der
\stichwort {Satz über die stetige Umkehrfunktion} {.}}{Das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit
\mathl{0 \leq q < 1}{} und ein $k_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{a_{k+1} }{a_k} }
}
{ \leq} { q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{k \geq k_0}{.} Dann konvergiert die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} absolut.}{Es sei
\mathl{I \subseteq \R}{} ein Intervall und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine stetige,streng wachsende Funktion.
Dann ist das Bild
\mathl{J \defeq f(I)}{} ebenfalls ein Intervall, und die
Umkehrabbildung
\maabbdisp {f^{-1}} {J} {I
} {}
ist ebenfalls stetig.}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { g(t)y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{} mit einer
\definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{}
\maabbeledisp {g} {I} {\R
} {t} {g(t)
} {,}
die auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert sei. Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu $g$ auf $I$. Dann sind die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der Differentialgleichung gleich
\mathdisp {y(t) = c \cdot \exp (G(t)) \text{ mit } c \in \R} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{a \in \N_+}{.} Zeige, wie man $a^{10}$ mit vier Multiplikationen berechnen kann.
}
{
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \defeq} { a \cdot a
}
{ =} {a^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ \defeq} { b \cdot b
}
{ =} {b^2
}
{ =} {a^4
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{10}
}
{ =} {(c \cdot c) \cdot b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Berechnung mit vier Multiplikationen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.
}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte 2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte 2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte 3.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte 3.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }
}
{
Multiplikation liefert
\mathdisp {573 \cdot 4322 =2476506 \text{ und } 1234 \cdot 2007 = 2476638} { . }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{573}{1234}
}
{ \leq} { \frac{2007}{4322}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p
}
{ =} { \frac{573}{-1234}
}
{ =} { \frac{-573}{1234}
}
{ \geq} { \frac{-2007}{4322}
}
{ =} { q
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.
}
{
Wir wollen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x+y }{ 2 } }
}
{ \geq} { \sqrt{xy}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zeigen. Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^2 +2xy+y^2 }{ 4 } }
}
{ \geq} { xy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^2 -2xy+y^2 }{ 4 } }
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ x-y }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ x^2 -2xy+y^2 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies in der Tat wahr.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.
}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_0
}
{ \leq} { x_n
}
{ \leq} { b_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine
\definitionsverweis {Intervallhalbierung}{}{}
derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_0
}
{ \defeq }{ [a_0,b_0]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei das $k$-te Intervall
\mathl{I_{ k }}{} bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
\mathdisp {[a_{ k }, \frac{ a_{ k }+b_{ k } }{2}] \text{ und } [ \frac{a_{ k }+b_{ k } }{2},b_{ k }]} { . }
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall
\mathl{I_{ k +1}}{} eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n_k}
}
{ \in} { I_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_{ k }
}
{ > }{ n_{ k-1 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach
Aufgabe 7.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gegen die durch die
Intervallschachtelung bestimmte Zahl
$x$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Ersetze im Term
\mathl{3x^2+5x+6}{} die Variable $x$ durch den Term $4y^2+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ 3 { \left( 4y^2+2y+3 \right) }^2+5 { \left( 4y^2+2y+3 \right) } +6
}
{ =} {3 { \left( 16y^4 +4y^2 +9 + 16 y^3 +24y^2 + 12y \right) }+ 20 y^2+ 10y+15 +6
}
{ =} { 48 y^4 +12 y^2 +27 + 48 y^3 +72 y^2 + 36 y+ 20 y^2+ 10y+15 +6
}
{ =} { 48 y^4+ 48 y^3 +104 y^2 +46y+ 48
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Man gebe explizit ein $m$ mit der Eigenschaft an, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1,03^n
}
{ \geq} { n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Mit dem allgemeinen binomischen Lehrsatz ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1{,}03^n
}
{ =} {( 1+ 0{,}03)^n
}
{ =} { 1+ n \cdot 0{,}03 + \binom { n } { 2 } 0{,}03^2 + \binom { n } { 3 } 0{,}03^3 + \ldots
}
{ \geq} { \binom { n } { 3 } 0{,}03^3
}
{ =} { { \frac{ n(n-1)(n-2) }{ 6 } } \cdot { \frac{ 27 }{ 1000000 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { n^2 \cdot { \left( { \frac{ (n-1)(n-2) }{ 6 n } } \cdot { \frac{ 27 }{ 1000000 } } \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dies soll
\mathl{\geq n^2}{} werden, was man dadurch erreichen kann, dass der Klammerausdruck rechts
\mathl{\geq 1}{} wird. Dieser Ausdruck ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ (n-1)(n-2) }{ 6 n } } \cdot { \frac{ 27 }{ 1000000 } }
}
{ =} { { \frac{ n^2 - 3n +2 }{ n } } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } }
}
{ =} { { \left( n -3 + { \frac{ 2 }{ n } } \right) } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } }
}
{ \geq} { { \left( n -3 \right) } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( n -3 \right) } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } }
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq} { { \frac{ 2000000 }{ 9 } } +3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was jedenfalls bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} { 300000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt ist. Man kann also beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ =} {300 000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nehmen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur im Nullpunkt stetig ist.
}
{
Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Dann kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ = }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen, denn aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { u }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(u) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Wir zeigen, dass man für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ = }{ \betrag { { \frac{ x }{ 2 } } }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ {\min { \left( \delta , \epsilon \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $x$ rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ {]x-c,x+ c[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn $x$ irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ {]x-c,x+ c[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Im ersten Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) -f(u) }
}
{ =} { \betrag { x }
}
{ >} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
im zweiten Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) -f(q) }
}
{ =} {\betrag { q }
}
{ >} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass in beiden Fällen die $\delta$-Umgebung von $x$ nicht in die $\epsilon$-Umgebung von $f(x)$ abgebildet wird.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{ \frac{z^{n+1} }{(n+1)!} }{\frac{z^n}{n!} } }
}
{ =} { \betrag { \frac{z}{n+1} }
}
{ =} { \frac{ \betrag { z } }{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ 2 \betrag { z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kleiner als
\mathl{1/2}{.} Aus dem
Quotientenkriterium
folgt daher die
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3+4X^2-7X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {X^3-2X^2+5X+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen $x$ vor, die eine Nullstelle von
\mathl{P-Q}{} sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P-Q
}
{ =} {X^3+4X^2-7X+1- { \left( X^3-2X^2+5X+3 \right) }
}
{ =} { 6X^2-12X-2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2- 2X- { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungen dafür sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4+ { \frac{ 4 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ { \frac{ 16 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm 4 \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { 1 \pm 2\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }
}
}
{}
{}{.}
Dies sind die $x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu
\zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.}
\aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}
-
a) -
b) -
c)
-
d) -
e) -
f)
}
{
\aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1 : \, b} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1 : \, a} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1 : \, d} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1 : \, e} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1 : \, c} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1 : \, f} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei
\mathkor {} {a \in {\mathbb C}} {} {a \neq 0} {,}
und es sei
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {f(z)
} {,}
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit
\mathl{f( a z) =f( z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} gelte. Zeige, dass die Ableitung die Beziehung
\mathl{f'( a z) = a^{-1} f' ( z)}{}
erfüllt.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(z)
}
{ \defeq }{f(az)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach der Kettenregel ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g'(z)
}
{ = }{ a f'(az)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(z)
}
{ = }{f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ = }{ a f'(az)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(az)
}
{ = }{ a^{-1} f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{,}
\maabb {f} {I} {\R
} {}
eine dreimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Funktion und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime \prime} (x)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $x$ ein
\definitionsverweis {Wendepunkt}{}{}
von $f$ ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime} (x)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der negative Fall wird genauso behandelt. Wegen der dreifachen stetigen Differenzierbarkeit ist $f^{\prime \prime \prime}$ stetig und somit gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $f^{\prime \prime \prime}$ auf ganz
\mathl{[x- \epsilon, x+ \epsilon]}{} positiv ist. Dann ist $f^{\prime \prime }$ nach
Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
streng wachsend und somit ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{ \prime \prime} (x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zweite Ableitung $f^{ \prime \prime}$ auf
\mathl{[x- \epsilon, x [}{} negativ und auf
\mathl{]x, x + \epsilon ]}{} positiv. Damit ist $f'$ auf
\mathl{[x- \epsilon, x [}{} fallend und auf
\mathl{]x, x + \epsilon ]}{} wachsend und damit ist nach
Satz 20.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
$f$ auf
\mathl{[x- \epsilon, x [}{} konkav und auf
\mathl{]x, x + \epsilon ]}{} konvex. Es liegt also ein Wendepunkt vor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { 2^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt $1$.
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^x
}
{ =} { e^{ x \ln 2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind die Ableitungen gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { \ln \left( 2 \right) \cdot 2^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \ln \left( 2 \right)^2 \cdot 2^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime} (x)
}
{ =} { \ln \left( 2 \right)^3 \cdot 2^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime \prime} (x)
}
{ =} { \ln \left( 2 \right)^4 \cdot 2^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist das Taylorpolynom der Ordnung $4$ im Entwicklungspunkt $1$ gleich
\mathdisp {2 + 2 \ln \left( 2 \right) (x-1) + \ln \left( 2 \right)^3 (x-1)^2 + { \frac{ \ln \left( 2 \right)^3 }{ 3 } } (x-1)^3 + { \frac{ \ln \left( 2 \right)^4 }{ 12 } } (x-1)^4} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und es seien
\maabb {f,g} {I} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Zeige, dass auch ${\max { \left( f , g \right) } }$ Riemann-integrierbar ist.
}
{
Wir müssen zeigen, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine obere und eine untere Treppenfunktion gibt derart, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale $\leq \epsilon$ ist. Es sei also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es
\definitionsverweis {Treppenfunktionen}{}{}
\mathdisp {s_1 \text{ und } t_1 \text{ mit } s_1 \leq f \leq t_1 \text{ und mit } \int_{ a }^{ b } (t_1-s_1)(x) \, d x \leq \epsilon/2} { }
und
\mathdisp {s_2 \text{ und } t_2 \text{ mit } s_2 \leq g \leq t_2 \text{ und mit } \int_{ a }^{ b } (t_2-s_2)(x) \, d x \leq \epsilon/2} { . }
Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei
\mathbed {\ell_k} {}
{k=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {}
die Länge des $k$-ten Teilintervalls $I_k$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta_k
}
{ \defeq} { (t_1-s_1) {{|}} _{I_k} + (t_2-s_2) {{|}}_{I_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\sum_{k = 1}^n \ell_k \delta_k
}
{ =} {\sum_{k = 1}^n \ell_k { \left( (t_1-s_1) {{|}} _{I_k} + (t_2-s_2) {{|}}_{I_k} \right) }
}
{ =} {\sum_{k = 1}^n \ell_k (t_1-s_1) {{|}} _{I_k} + \sum_{k = 1}^n \ell_k (t_2-s_2) {{|}}_{I_k}
}
{ \leq} {\frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}
}
{ =} {\epsilon
}
}
{}
{}{.}
Wir setzen
\mathdisp {s \defeq {\max { \left( s_1 , s_2 \right) } } \text{ und } t \defeq {\max { \left( t_1 , t_2 \right) } }} { . }
Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktionen für
\mathl{{\max { \left( f , g \right) } }}{.} Wir betrachten ein Teilintervall
\mathl{I_k}{} der gegebenen Unterteilung.
\fallunterscheidungdrei {Wenn dort
\mathdisp {s_1 \leq s_2 \text{ und } t_1 \leq t_2} { }
gilt, so ist dort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t-s
}
{ =} {t_2-s_2
}
{ \leq} { \delta_k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{Wenn dort
\mathdisp {s_1 \leq s_2 \text{ und } t_2 \leq t_1} { }
gilt, so ist dort ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t-s
}
{ =} {t_1-s_2
}
{ \leq} {t_1-s_1
}
{ \leq} {\delta_k
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{Dies gilt auch in den beiden anderen Fällen.}
Damit ist die Differenz der Treppenintegrale
\mathl{\leq \sum_{k =1}^n \ell_k \delta_k \leq \epsilon}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ 5x^3+4x-3 }{ x^2+1 } }} { }
mittels Partialbruchzerlegung.
}
{
Da der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, führen wir zuerst eine Polynomdivision durch. Diese ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x^3+4x-3
}
{ =} {(x^2+1)(5x) -x-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5x^3+4x-3 }{ x^2+1 } }
}
{ =} { 5x - { \frac{ x }{ x^2+1 } } -3 { \frac{ 1 }{ x^2+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Stammfunktion ist also
\mathdisp {{ \frac{ 5 }{ 2 } } x^2 - { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln (x^2+1) -3 \arctan x} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+2+1)}
{
a) Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } }} { . }
b) Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7} { . }
c) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7 \text{ und } y(1)= 5} { . }
}
{
a) Nach dem Lösungsansatz für homogene lineare Differentialgleichungen müssen wir zuerst eine Stammfunktion von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ t } }}{} bestimmen, eine solche ist
\mathl{\ln t}{.} Die Exponentialfunktion davon ist $t$, so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ ct
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
die Lösungen von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { y/t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind.
b) Eine Stammfunktion zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ t^7 }{ t } }
}
{ = }{ t^6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 7 } } t^7} { . }
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 7 } } t^7 \cdot t
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } } t^8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und somit sind
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 7 } } t^8 + c t,\, c \in \R,} { }
alle Lösungen.
c) Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(1)
}
{ = }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt sein soll, so muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 7 } } +c
}
{ =} { 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c
}
{ =} { 5- { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ =} { { \frac{ 34 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungs des Anfangsproblems ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } } t^8 + { \frac{ 34 }{ 7 } } t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}