Kurs:Analysis/Teil I/63/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	8	0	0	4	0	0	0	0	4	2	0	0	27

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Lösung

1. /Definition/Begriff/Inhalt
2. /Definition/Begriff/Inhalt
3. /Definition/Begriff/Inhalt
4. /Definition/Begriff/Inhalt
5. /Definition/Begriff/Inhalt
6. /Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (3 (0.5+0.5+1+1) Punkte)

Professor Knopfloch fliegt von Tokio nach Frankfurt. Die Zeitdifferenz zwischen Frankfurt und Tokio beträgt 9 Stunden (wenn es in Frankfurt 12:00 ist, so ist es in Tokio bereits 21:00 am gleichen Tag). Das Flugzeug startet am Samstag um 11:30 Ortszeit in Tokio und landet am Samstag um 16:30 Ortszeit in Frankfurt und folgt dabei der eingezeichneten blauen Kurve. Die Erde ist in 24 Zeitzonen eingeteilt; in der Karte sind das (sehr schematisch) die Flächen, die durch die vom Nordpol ausgehenden Strahlen begrenzt werden. Wenn einer der Strahlen von West nach Ost (in der Karte bedeutet dies gegen den Uhrzeigersinn) überflogen wird, so springt die Ortszeit um eine Stunde vor. Wenn die Datumsgrenze (die rote Linie) von West nach Ost überflogen wird, so springt das Datum um einen Tag zurück (aber auch um eine Stunde vor, da die Datumsgrenze auch eine Zeitzonengrenze ist). Wir gehen davon aus, dass das Flugzeug für jede Überfliegung einer Zeitzone gleich lang braucht (das ist ziemlich unrealistisch) und dass Tokio und Frankfurt in der Mitte ihrer Zeitzonen liegen.

a) Wie lange ist das Flugzeug unterwegs?

b) Wie viele Minuten braucht das Flugzeug, um eine Zeitzone zu überfliegen?

c) Welche Ortszeit gilt unmittelbar nachdem das Flugzeug die Datumsgrenze durchflogen hat?

d) Wie viele Minuten war das Flugzeug gemäß Ortszeit am Freitag unterwegs?

Lösung

a) Das Flugzeug fliegt ${}5+9=14$ Stunden.

b) Es werden ${}15$ Zeitzonengrenzen und auch die Breite von ${}15$ Zeitzonen (${}14$ volle Zeitzonen und ${}2$ halbe Zeitzonen) überflogen. Das Flugzeug braucht somit ${}{\frac {14}{15}}={\frac {56}{60}}$ Stunden, also ${}56$ Minuten, um eine Zeitzone zu überfliegen.

c) Um ${}12:58$ hat das Flugzeug zum ersten Mal eine Zeitzonengrenze überflogen (immer in neuer Ortszeit), um ${}14:54$ wird die nächste Zeitzonengrenze überflogen, um ${}16:50$ die nächste. Die folgende Zeitzonengrenze ist die Datumsgrenze, diese wird um ${}18:46$ am Freitag überfolgen.

d) Die beiden nächsten Zeitzonengrenzen werden um ${}20:42$ und um ${}22:38$ überflogen. Nach weiteren ${}56$ Minuten ist es in alter Ortszeit ${}23:34$ und ${}00:34$ am Samstag in neuer Ortszeit. Daher war das Flugzeug am Freitag

${}3\cdot 56=168\,$

Minuten unterwegs.

Aufgabe (8 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ endliche Mengen mit ${}\ell ,m$ bzw. ${}n$ Elementen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(L,N\right)},\,(f,g)\longmapsto g\circ f,$

die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. Zeige, dass ${}\Psi$ genau dann surjektiv ist, wenn

${}m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,$

ist.

Lösung

Sei zuerst

${}m<\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Wir nennen das Minimum rechts ${}k$. Wir wählen Teilmengen ${}S=L$ und ${}T=N$ mit jeweils ${}k$ Elementen und eine bijektive Abbildung

${\tilde {h}}\colon S\longrightarrow T.$

Diese erweitern wir zu einer Abbildung

$h\colon L\longrightarrow N,$

indem wir die Werte zu Elementen aus ${}L\setminus S$ irgendwie festlegen. Das Bild von ${}h$ besitzt zumindest ${}k$ Elemente. Diese Abbildung kann nicht durch ${}M$ faktorisieren, da ${}M$ weniger als ${}k$ Elemente besitzt.

Es sei nun

${}m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Dabei sei zunächst

${}\ell =\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Daher gibt es eine injektive Abbildung von ${}L$ nach ${}M$, und wir fixieren eine injektive Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M.$

Es sei

$h\colon L\longrightarrow N$

vorgegeben. Wir definieren

$g\colon M\longrightarrow N$

durch

${}g(y)={\begin{cases}h(x),{\text{ falls }}y=f(x)\\\,z{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

wobei ${}z\in N$ fixiert ist. Dabei ist

${}(g\circ f)(x)=g(f(x))=h(x)\,$

nach Konstruktion.

Es sei nun

${}n=\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Bei ${}n=0$ ist die Aussage direkt klar, sei also ${}n\geq 1$. Dann gibt es eine surjektive Abbildung von ${}M$ nach ${}L$, und wir fixieren eine surjektive Abbildung

$g\colon M\longrightarrow N.$

Es sei

$h\colon L\longrightarrow N$

vorgegeben. Wir definieren

$f\colon L\longrightarrow M$

durch

${}f(x)=y\,,$

wobei ${}y\in M$ ein Element mit

${}g(y)=h(x)\,$

ist. Dabei ist

${}(g\circ f)(x)=g(f(x))=h(x)\,$

nach Konstruktion.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Dezimalsystem, das (beispielsweise in der Schule) schrittweise aufgebaut wird. Zuerst sind endliche Ziffernfolgen der Form

$6108$

erlaubt, die eine natürliche Zahl repräsentieren. Dann erweitert man zu Ziffernfolgen der Form

$6108,3956$

(die gewisse rationale Zahlen repräsentieren). Warum sind im weiteren Aufbau des Dezimalsystems Ziffernfolgen der Bauart

$6108,3956236582952309045...$

mit „unendlich vielen“ Ziffern hinter dem Komma erlaubt, aber keine Ziffernfolgen der Bauart

$...23775800449523096108,3956$

mit „unendlich vielen“ Ziffern vor dem Komma? Kann man die zuletzt genannten Ziffernfolgen sinnvoll interpretieren? Kann man sie sinnvoll als „Zahlen“ interpretieren?

Lösung Dezimalsystem/Unendlich viele Ziffern/Richtung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 (1+2+1) Punkte)

1. Bestimme die Tangente der Exponentialfunktion durch den Punkt ${}(0,e^{0})=(0,1)$.
2. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die tangential an den Graphen der Exponentialfunktion ist.
3. Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden aus (1) und (2).

Lösung

1. Die Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle ${}0$ besitzt den Wert ${}1$ und somit ist die Tangente durch ${}(0,1)$ gleich ${}x+1$.
2. Die Geraden durch den Nullpunkt haben die Form ${}ax$. Da es eine Tangente der Exponentialfunktion in einem Punkt ${}(z,e^{z})$ sein soll, ist einerseits

   ${}a={\frac {e^{z}}{z}}\,$

   und andererseits, da die Steigung der Tangente die Ableitung ist,

   ${}a=e^{z}\,.$

   Also ist

   ${}{\frac {e^{z}}{z}}=e^{z}\,$

   und daher ${}z=1$ und die Tangente ist durch ${}ex$ gegeben.

3. Bie Bedingung

   ${}x+1=ex\,$

   führt auf

   ${}(e-1)x=1\,$

   und

   ${}x={\frac {1}{e-1}}\,.$

   Der Schnittpunkt ist also

   $\left({\frac {1}{e-1}},\,{\frac {e}{e-1}}\right).$

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen auf ${}[0,2\pi ]$.

1. ${}\cos x$.
2. ${}\cos 2x$.
3. ${}\cos ^{2}x$.
4. ${}2\cos ^{2}x-1$.

Lösung Kosinus/Quadrat und Verdoppelung/Tschebyschow-Polynom/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung