Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 24/latex

\setcounter{section}{24}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathl{\int_{ 0 }^{ 8 } f ( t) \, d t}{,} wobei die Funktion $f$ durch
\mathdisp {f(t)= \begin{cases} t+1 , \text{ falls } 0 \leq t \leq 2 \, , \\ t^2-6t+11 , \text{ falls } 2 < t \leq 5 \, , \\ 6 , \text{ falls } 5 < t \leq 6 \, , \\ -2t+18 \, , \text{ falls } 6 < t \leq 8 \, , \end{cases}} { }
gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \sqrt{x} - { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } + { \frac{ 1 }{ 2x+3 } } -e^{-x} } {,} über
\mathl{[1,4]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 2 }^{ 5 } \frac{x^2+3x-6}{x-1} \, d x} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x) }
{ = }{ \sqrt{x} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eingeschlossen wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall
\mathl{[6,22]}{} \zusatzklammer {in Stunden} {} {} durch die Funktion \maabbeledisp {f} {[6,22] } { \R } {t} {f(t) = -t^3+27t^2-120t } {,} beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n+1 } } + { \frac{ 1 }{ n+2 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 2n } } }
{ \leq} { \ln 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Tipp: Betrachte die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem Intervall
\mathl{[1,2]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die zweite \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x) }
{ =} { \int_{ 0 }^{ x } \sqrt{t^5-t^3+2t} \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {g} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} und es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass die Funktion
\mathdisp {h(x)= \int_{ 0 }^{ g(x) } f(t) \, d t} { }
differenzierbar ist und bestimme ihre \definitionsverweis {Ableitung}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {[0,1]} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Betrachte die durch
\mathdisp {a_n := \int_{ \frac{1}{n+1} }^{ \frac{1}{n} } f(t) \, d t} { }
definierte \definitionsverweis {Folge}{}{.} Entscheide, ob diese Folge \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}{} eine \definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabb {f} {[0,1]} {\R } {} eine \definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass dann die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{a_n} f(x) dx} { }
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f$ eine \definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{} auf $[a,b]$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man zeige: Ist $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{a}^{b} f(x)dx }
{ >} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{0}^{x} e^{t^2} dt }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine einzige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} zwei \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{a}^{b} f(x) dx }
{ =} { \int_{a}^{b} g(x) dx }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Beweise, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c) }
{ = }{ g(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} zwei \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(t) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es dann ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(t)g(t) \, d t }
{ =} { f(s) \int_{ a }^{ b } g(t) \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des \definitionsverweis {Graphen}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jede stetige Funktion \maabb {g} {[a,b]} {\R } {.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ 7 } \frac{x^3-2x^2-x+5}{x+1} \, d x} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der beiden \definitionsverweis {Funktionen}{}{} \mathkor {} {f} {und} {g} {} mit
\mathdisp {f(x)=x^2 \text{ und } g(x)=-2x^2+3x+4} { }
eingeschlossen wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) } {,} mit
\mathdisp {f(t)= \begin{cases} 0 \text{ für } t=0, \\ \sin \frac{1}{t} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases}} { }
Zeige, unter Bezug auf die Funktion
\mathl{g(x)=x^2 \cos \frac{1}{x}}{,} dass $f$ eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Betrachte die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n^ { \frac{ 3 }{ 2 } } } } \sum_{i = 1}^n \sqrt{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {Folge}{}{.} Zeige, dass diese Folge \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {(Verwende Eigenschaften der Wurzelfunktion.)}

\inputaufgabe
{6}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {stetige}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {[0,1]} {\R } {} derart, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft gibt, dass das \definitionsverweis {Treppenintegral}{}{} zur maximalen \definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{} zur äquidistanten Unterteilung in $n$ Teilintervalle größer ist als dasjenige zu
\mathl{n+1}{} Teilintervallen \zusatzklammer {d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation} {} {.}

}
{} {(Ignoriere zuerst die beiden Bedingungen stetig und streng.)}