Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Definitionsabfrage
Es seien zwei Mengen
und
gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der beiden Mengen.
Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von
die Potenzmenge von
. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
Mengen. Eine Abbildung
von
nach
ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge
genau ein Element der Menge
zugeordnet wird. Das zu
eindeutig bestimmte Element wird mit
bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
aus.
Es seien und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
auch
und
verschieden sind.
Es seien
und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes
mindestens ein Element
mit
gibt.
Es seien und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt bijektiv, wenn
sowohl
injektiv
als auch
surjektiv
ist.
Es sei
eine
bijektive Abbildung.
Dann heißt die Abbildung
die jedes Element
auf das eindeutig bestimmte Element
mit
abbildet, die Umkehrabbildung zu
.
Es seien
und
Mengen und
und
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
.
Es seien
und
Mengen und es sei
eine
Abbildung. Zu einer Teilmenge
heißt
das Bild von unter
. Für
heißt
das Bild der Abbildung.
Es seien
und
Mengen und es sei
eine
Abbildung. Zu einer Teilmenge
heißt
das Urbild von unter
. Für eine einelementige Teilmenge
heißt
das Urbild von .
Eine Verknüpfung auf einer Menge
ist eine
Abbildung
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Es sei eine Menge mit einer
Verknüpfung
gegeben. Dann heißt ein Element
neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Es sei eine Menge mit einer
Verknüpfung
und einem
neutralen Element
gegeben. Dann heißt zu einem Element
ein Element
inverses Element
(zu
).
wenn die Gleichheit
gilt.
Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element
und mit einer
Verknüpfung
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
gilt
-
- Das Element
ist ein neutrales Element, d.h. für alle
gilt
-
- Zu jedem
gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
mit
-
Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei
Verknüpfungen
(genannt Addition und Multiplikation)
und zwei verschiedene Elemente
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Negativen: Zu jedem
gibt es ein Element
mit
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Inversen: Zu jedem
mit
gibt es ein Element
mit
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Distributivgesetz:
Für alle
gilt
.
Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form
wobei
und
sind, und wobei zwei Ausdrücke
und
genau dann als gleich betrachtet werden, wenn
(in
)
gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit
bezeichnet.
Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl
die Fakultät von
(sprich
Fakultät).
Es seien
und
natürliche Zahlen mit
.
Dann nennt man
den Binomialkoeffizienten „ über
“.
Es seien
und
Mengen. Eine Relation zwischen
und
ist eine Teilmenge
.
Eine
Relation
auf einer Menge
heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Aus
und
folgt stets
.
- Aus
und
folgt
.
Eine
Ordnungsrelation
auf einer Menge
heißt lineare Ordnung
(oder totale Ordnung),
wenn zu je zwei Elementen
die Beziehung
oder
gilt.
Ein
Körper
heißt angeordnet, wenn es eine
totale Ordnung
auf
gibt, die die beiden Eigenschaften
- Aus
folgt
(für beliebige
),
- Aus
und
folgt
(für beliebige
),
erfüllt.
Es sei ein
angeordneter Körper.
Zu
,
,
nennt man
das abgeschlossene Intervall.
das offene Intervall.
das linksseitig offene Intervall.
das rechtsseitig offene Intervall.
In einem
angeordneten Körper
ist der Betrag eines Elementes
folgendermaßen definiert.
Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt
archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem
eine natürliche Zahl
mit
gibt.
Es sei ein
archimedisch angeordneter Körper
und
.
Die Gaußklammer von
ist durch
definiert.
Es sei eine Menge. Eine
Abbildung
nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form
geschrieben.
Es sei eine
Folge
in einem
angeordneten Körper
und es sei
.
Man sagt, dass die Folge gegen
konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.
Es sei ein angeordneter Körper und
eine Teilmenge.
- Ein Element
heißt eine obere Schranke für
, wenn
für alle
gilt.
- Ein Element
heißt eine untere Schranke für
, wenn
für alle
gilt.
heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für
existiert.
heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für
existiert.
heißt beschränkt , wenn
sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
- Ein Element
heißt das Maximum von
, wenn
für alle
gilt.
- Ein Element
heißt das Minimum von
, wenn
für alle
gilt.
- Eine
obere Schranke
von
heißt das Supremum von
, wenn
für alle oberen Schranken
von
gilt.
- Eine
untere Schranke
von
heißt das Infimum von
, wenn
für alle unteren Schranken
von
gilt.
Es sei ein
angeordneter Körper
und sei
eine
Folge
in
. Zu jeder
streng wachsenden
Abbildung
,
,
heißt die Folge
eine Teilfolge der Folge.
Eine
Folge
in einem
angeordneten Körper
heißt bestimmt divergent gegen
, wenn es zu jedem
ein
mit
gibt. Sie heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem
ein
mit
gibt.
Es sei ein
angeordneter Körper
und sei
eine
Folge
in
. Dann heißt die Folge wachsend, wenn
ist für alle
,
und streng wachsend, wenn
ist für alle
.
Die Folge heißt fallend, wenn
ist für alle
und streng fallend, wenn
ist für alle
.
Es sei ein
angeordneter Körper.
Eine
Folge
in
heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt.
Ein
angeordneter Körper
heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede
Cauchy-Folge
in
konvergiert
(also in
einen Grenzwert besitzt).
Einen
archimedisch angeordneten
vollständigen
Körper
nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit bezeichnet.
Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen
Intervallen
in heißt eine Intervallschachtelung, wenn
für alle
ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
gegen
konvergiert.
Die reelle Zahl
heißt Eulersche Zahl.
Die Menge mit
und
,
mit der komponentenweisen Addition und der durch
definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit
bezeichnet.
Zu einer komplexen Zahl
heißt
der Realteil von und
heißt der Imaginärteil von .
Die Abbildung
heißt komplexe Konjugation.
Zu einer komplexen Zahl
ist der Betrag durch
definiert.
Es sei eine
Folge
von
komplexen Zahlen.
Unter der Reihe
versteht man die Folge
der Partialsummen
Falls die Folge
konvergiert,
so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den
Grenzwert
ebenfalls
und nennt ihn die Summe der Reihe.
Eine Reihe
von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
konvergiert.
Der Polynomring über einem
Körper
besteht aus allen Polynomen
mit
,
,
und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
definiert ist.
Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit
ist
.
Es sei ein
Körper.
Zu
Polynomen
,
,
heißt die
Funktion
wobei
das
Komplement
der
Nullstellen
von
ist, eine rationale Funktion.
Zwei Mengen
und
heißen gleichmächtig, wenn es eine
bijektive Abbildung
Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine
surjektive Abbildung
gibt.
Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn sie
abzählbar,
aber nicht
endlich
ist.
Es sei eine reelle Folge. Eine reelle Zahl
heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes
unendlich viele Folgenglieder
mit
gibt.
Es sei
eine Teilmenge,
eine
Funktion
und
. Man sagt, dass
stetig
im Punkt
ist, wenn es zu jedem
ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt. Man sagt, dass
stetig
ist, wenn sie in jedem Punkt
stetig ist.
Es sei
eine Teilmenge und sei
ein Punkt. Es sei
eine
Funktion.
Dann heißt Grenzwert
(oder
Limes)
von
in
, wenn für jede Folge
in
, die gegen
konvergiert,
auch die Bildfolge
gegen
konvergiert. In diesem Fall schreibt man
Es sei eine Menge und
eine
Funktion.
Man sagt, dass in einem Punkt
das Maximum annimmt, wenn
und dass das Minimum annimmt, wenn
Es sei
eine Teilmenge und sei
eine
Funktion.
Man sagt, dass in einem Punkt
ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt. Man sagt, dass in
ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt.
Es sei
eine Teilmenge,
eine
Funktion. Dann heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem
ein
mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle
mit
ist
.
Es sei
eine Teilmenge,
eine
stetige Funktion
und es sei
.
Dann heißt eine
Abbildung
eine stetige Fortsetzung von , wenn
stetig ist und
für alle
gilt.
Es sei
.
Ein Punkt
heißt Berührpunkt von
, wenn es (mindestens) eine Folge
gibt, die gegen
konvergiert.
Es sei eine positive
reelle Zahl.
Die
Funktion
heißt Exponentialfunktion zur Basis .
Zu
Reihen
und
komplexer Zahlen
heißt die Reihe
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
Es sei eine Folge von
komplexen Zahlen
und
eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die
Reihe
die Potenzreihe in zu den Koeffizienten
.
Für jedes
heißt die
Reihe
die Exponentialreihe in .
Die Abbildung
heißt (komplexe) Exponentialfunktion.
Für
heißt
die Kosinusreihe und
die Sinusreihe zu .
Es sei eine Menge und
()
eine
Folge
von
Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes
die
Folge
(in )
konvergiert.
Es sei eine Menge und
()
eine
Folge
von
Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
derart gibt, dass es zu jedem
ein
mit
gibt.
Es sei eine Menge und
eine Funktion. Dann nennt man
das Supremum
(oder die Supremumsnorm)
von . Es ist eine
nichtnegative
reelle Zahl
oder
.
Für eine Potenzreihe
heißt
der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative
reelle Zahl oder .
Zu einer positiven reellen Zahl
definiert man die
Exponentialfunktion zur Basis
von
als
Zu einer positiven reellen Zahl
,
,
wird der
Logarithmus zur Basis
von
durch
definiert.
Es sei eine
Indexmenge
und
,
,
eine
Familie
von
komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein
mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem
gibt es eine
endliche
Teilmenge
derart, dass für alle endlichen Teilmengen
mit
die Beziehung
gilt. Dabei ist
.
Im summierbaren Fall heißt
die Summe der Familie.
Es sei eine
Indexmenge
und
,
,
eine
Familie
von
komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem
eine
endliche
Teilmenge
derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge
mit
die Beziehung
gilt. Dabei ist
.
Es sei
offen,
ein Punkt und
eine
Funktion. Zu
,
,
heißt die Zahl
der Differenzenquotient von zu
und
.
Es sei
offen,
ein Punkt und
eine
Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in
ist, wenn der
Limes
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in
, geschrieben
Es sei
offen
und
eine
Funktion.
Man sagt, dass differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt
die
Ableitung
von
in
existiert. Die
Abbildung
heißt die Ableitung
(oder Ableitungsfunktion)
von .
Es sei
offen
und
eine
Funktion.
Man sagt, dass
-mal differenzierbar ist, wenn
-mal differenzierbar ist und die
-te Ableitung
differenzierbar
ist. Die Ableitung
nennt man dann die -te Ableitung von
.
Es sei
offen
und
eine
Funktion.
Man sagt, dass n-mal stetig differenzierbar ist, wenn
n-mal differenzierbar
ist und die
n-te Ableitung
stetig
ist.
Eine Teilmenge
heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten
auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
ebenfalls zu gehört.
Es sei
eine Teilmenge und
eine Funktion. Dann nennt man die Menge
den Subgraphen und
den Epigraphen der Funktion.
Es sei
ein
Intervall
und
eine
Funktion.
Man sagt, dass konvex ist, wenn der
Epigraph
konvex
ist.
Es sei
ein
Intervall
und
eine
Funktion.
Man sagt, dass konkav ist, wenn der
Subgraph
konvex
ist.
Es sei
eine auf einem Intervall
definierte Funktion und
ein innerer Punkt von
. Man sagt, dass in
ein
Wendepunkt
von
vorliegt, wenn es ein
derart gibt, dass
auf
konvex
(konkav)
und auf
konkav
(konvex) ist.
Es sei die
eindeutig bestimmte
reelle
Nullstelle
der
Kosinusfunktion
aus dem
Intervall
. Die Kreiszahl
ist durch
definiert.
Es sei
eine
offene
Teilmenge,
eine -mal
differenzierbare
Funktion
und
.
Dann heißt
das Taylor-Polynom vom Grad
zu
im Entwicklungspunkt
.
Es sei
eine
offene
Teilmenge,
eine -oft
differenzierbare
Funktion
und
.
Dann heißt
die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt
.
Es sei ein
reelles
Intervall
mit den Grenzen
. Dann heißt eine
Funktion
eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
von derart gibt, dass
auf jedem offenen Teilintervall
konstant
ist.
Es sei ein
reelles
Intervall
mit den Grenzen
und sei
eine
Treppenfunktion
zur Unterteilung
und den Werten
,
.
Dann heißt
das Treppenintegral von auf
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
eine obere Treppenfunktion zu , wenn
für alle
ist. Eine Treppenfunktion
heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn
für alle
ist.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion
von zur Unterteilung
,
,
und den Werten
,
,
heißt das
Treppenintegral
ein oberes Treppenintegral
(oder eine Obersumme)
von auf
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion
von zur Unterteilung
,
,
und den Werten
,
,
heißt
ein unteres Treppenintegral
(oder eine Untersumme)
von auf
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine nach oben beschränkte
Funktion. Dann heißt das
Infimum
von sämtlichen
Treppenintegralen
zu
oberen Treppenfunktionen
von das Oberintegral von
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine nach unten beschränkte
Funktion. Dann heißt das
Supremum
von sämtlichen
Treppenintegralen
zu
unteren Treppenfunktionen
von das Unterintegral von
.
Es sei ein
kompaktes Intervall
und sei
eine
Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn
Ober-
und
Unterintegral
von
existieren und übereinstimmen.
Es sei ein
kompaktes Intervall. Zu einer
Riemann-integrierbaren Funktion
heißt das
Oberintegral
(das nach Definition mit dem
Unterintegral
übereinstimmt)
das bestimmte Integral von über
. Es wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn die
Einschränkung
von
auf jedes
kompakte
Intervall
Riemann-integrierbar
ist.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
Riemann-integrierbare
Funktion und
.
Dann heißt die Funktion
die Integralfunktion zu zum Startpunkt
.
Es sei
offen
und sei
eine Funktion. Eine Funktion
heißt Stammfunktion zu , wenn
auf
differenzierbar
ist und
für alle
gilt.
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Dann nennt man
die
(gewöhnliche)
Differentialgleichung zu
(oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld
).
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung
heißt eine Funktion
auf einem
(mehrpunktigen)
Intervall
eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Die Funktion
ist differenzierbar.
- Es ist
für alle
.
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine
Funktion. Es sei
vorgegeben. Dann nennt man
das Anfangswertproblem
zur
gewöhnlichen Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung
.
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine
Funktion. Es sei
vorgegeben. Dann nennt man eine
Funktion
auf einem
Intervall
eine Lösung des Anfangswertproblems
wenn eine
Lösung der Differentialgleichung
ist und wenn zusätzlich
gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion nicht von
abhängt, wenn also
mit einer Funktion
in der einen Variablen
gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von
abhängt, wenn also
mit einer Funktion
in der einen Variablen
gilt.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei
Funktionen
(dabei sind
und
reelle Intervalle)
und
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.