Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 46/latex
\setcounter{section}{46}
\zwischenueberschrift{Totale Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen}
Im Folgenden wollen wir den Zusammenhang zwischen Richtungsableitungen, partiellen Ableitungen und dem totalen Differential verstehen.
Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und}
\faktvoraussetzung {\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{,}
und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} \varphi \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
von $V$ nach $W$ ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Vektor in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Voraussetzung haben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(P+v)
}
{ =} { \varphi(P)+ { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + \Vert {v} \Vert \cdot r(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit den
\definitionsverweis {üblichen Bedingungen}{}{}
an $r$} {} {.}
Insbesondere gilt für
\zusatzklammer {hinreichend kleines} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(P+sv)
}
{ =} { \varphi(P)+ s { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + \betrag { s } \cdot \Vert {v} \Vert \cdot r(sv)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s\neq 0 } \, \frac{\varphi(P + sv) - \varphi(P) } { s }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s\neq 0 } \, \frac{ s { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + \betrag { s } \cdot \Vert {v} \Vert \cdot r(sv) } { s }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s\neq 0 } \, \left( { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + { \frac{ \betrag { s } }{ s } } \Vert {v} \Vert \cdot r(sv) \right)
}
{ =} { { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ } {}
}
{}
{}{,}
da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0 } \, r(sv)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Ausdruck
\mathl{{ \frac{ \betrag { s } }{ s } } \Vert {v} \Vert}{} beschränkt ist.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit/Partiell/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabb {\varphi} {G} { {\mathbb K}^m
} {}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ in $P$
\definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{,}
und das totale Differential ist bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
\mathdisp {{ \left( { \frac{ \partial \varphi_j }{ \partial x_i } } (P) \right) }_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}} { }
gegeben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Proposition 46.1, Lemma 44.2 und daraus, dass eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} auf einer \definitionsverweis {Basis}{}{} festgelegt ist.
Wir wollen umgekehrt ein handliches Kriterium für die totale Differenzierbarkeit angeben. Vor dem Beweis der nächsten Aussage erinnern wir an die Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven: Sei
\maabb {h} {[a,b]} {{\mathbb K}^n
} {}
differenzierbar. Dann existiert ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mathdisp {\Vert {h(b)-h(a)} \Vert \leq (b-a) \Vert {h'(c)} \Vert} { . }
\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/K/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und
\maabb {\varphi} {G} {{\mathbb K}^m
} {}
eine Abbildung. Es seien
\mathbed {x_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
die Koordinaten von ${\mathbb K}^n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt.}
\faktvoraussetzung {Es sei angenommen, dass alle
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
von $\varphi$ in einer
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
von $P$ existieren und in $P$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind.}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ in $P$
\definitionsverweis {(total) differenzierbar}{}{.}}
\faktzusatz {Ist die Abbildung $\varphi$ bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
des ${\mathbb K}^m$ durch die
\definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{}
\mathl{f_1 , \ldots , f_m}{} gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in $P$ durch die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
\mathdisp {{ \left( { \frac{ \partial f_j }{ \partial x_i } } (P) \right) }_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}} { }
beschrieben.}
\faktzusatz {}
}
{
Indem wir $G$ durch eine eventuell kleinere offene Umgebung von $P$ ersetzen, können wir annehmen, dass auf $G$ die Richtungsableitungen
\mathdisp {Q \longmapsto (D_i \varphi)(Q) \defeq { \left( D_{e_i } \varphi \right) } { \left( Q \right) } = \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_i } } (Q) \\\vdots\\ { \frac{ \partial f_m }{ \partial x_i } } (Q) \end{pmatrix} \in {\mathbb K}^m} { }
existieren und in $P$ stetig sind. Daher ist nach
Proposition 46.1
die lineare Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K}^m
} {v = (v_1 , \ldots , v_n) } { \sum_{i = 1}^n v_i (D_i\varphi)(P)
} {,}
der einzige Kandidat für das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{.}
Daher müssen wir zeigen, dass diese
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
die
\definitionsverweis {definierende Eigenschaft}{}{}
des totalen Differentials besitzt. Setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_i
}
{ \defeq }{P+ v_1 e_1 + \cdots + v_i e_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {abhängig von $v$} {} {.}
Dann gelten mit dem Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r(v)
}
{ \defeq} { { \frac{ \varphi(P+v) - \varphi(P) - \sum_{i = 1}^n v_i(D_i(\varphi))(P) }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für $v$ hinreichend klein} {} {}
die Abschätzungen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert {r(v)} \Vert
}
{ =} { { \frac{ \Vert {\varphi(P+v) - \varphi(P) - \sum_{i = 1}^n v_i(D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ =} { { \frac{ \Vert {\sum_{i = 1}^n (\varphi(P_i) - \varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P))} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n { \frac{ \Vert {\varphi(P_i) - \varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n { \frac{ \Vert {\varphi(P_{i-1} + v_i e_i) - \varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
}
{}
{}{.}
Wir betrachten jeden Summanden einzeln. Für fixiertes $i$ ist die Abbildung
\zusatzklammer {die auf dem Einheitsintervall definiert ist} {} {}
\mathdisp {h_i: s \longmapsto \varphi(P_{i-1} + s v_i e_i) - s v_i (D_i(\varphi))(P)} { }
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
\zusatzklammer {aufgrund der Existenz der partiellen Ableitungen auf $G$} {} {}
mit der Ableitung
\mathdisp {s \longmapsto v_i (D_i(\varphi))(P_{i-1} + s v_i e_i) - v_i(D_i(\varphi))(P)} { . }
Nach der
Mittelwertabschätzung
existiert eine reelle Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { c_i
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass
\zusatzklammer {dies ist die Norm von \mathlk{h_i(1)-h_i(0)}{}} {} {}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \Vert {\varphi(P_{i-1} + v_i e_i)-\varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v_i (D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert
}
{ =} { \betrag { v_i } \cdot \Vert { (D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert { (D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Aufsummieren liefert also, dass unser Ausdruck
\mathl{\Vert {r(v)} \Vert}{} nach oben
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist durch
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \sum_{i = 1}^n { \frac{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {(D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \Vert {(D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die partiellen Ableitungen
\mathl{D_i(\varphi)}{} stetig in $P$ sind, wird die Summe rechts mit $v$ beliebig klein, da dann
\mathl{P_{i-1} + c_iv_i e_i}{} gegen $P$ konvergiert. Also ist der Grenzwert für
\mathl{v \rightarrow 0}{} gleich $0$.
\inputfaktbeweis
{Polynomfunktionen/K/Total differenzierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {Polynomfunktionen}{}{}}
\faktfolgerung {sind
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 46.3 und daraus, dass die partiellen Ableitungen von Polynomfunktionen wieder Polynomfunktionen und daher nach Satz 34.12 \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.
Für einen anderen Beweis siehe
Aufgabe 45.4
und
Aufgabe 45.5.
\zwischenueberschrift{Extrema}
In den nächsten Vorlesungen wollen wir mit der Hilfe von Ableitungen verstehen, wann eine Funktion
\maabbdisp {} {G} {\R
} {,}
\mathl{G \subseteq \R^n}{,} ein Extremum, also ein Maximum oder ein Minimum in einem Punkt
\mathl{P \in G}{} annimmt. Hier stellen wir die relevanten Definitionen zusammen und stellen einige typische Beispiele vor.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {lokales Maximum}{} besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mathbed {x' \in M} {mit}
{d(x,x') \leq \epsilon} {}
{} {} {} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \geq} { f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Man sagt, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {lokales Minimum}{} besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mathbed {x' \in M} {mit}
{d(x,x') \leq \epsilon} {}
{} {} {} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \leq} { f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {isoliertes lokales Maximum}{} besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mathbed {x' \in M} {mit}
{d(x,x') \leq \epsilon} {und}
{x' \neq x} {} {} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ >} { f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Man sagt, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {isoliertes lokales Minimum}{} besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mathbed {x' \in M} {mit}
{d(x,x') \leq \epsilon} {und}
{x' \neq x} {} {} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ <} {f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputbeispiel{}
{
Die Funktion
\maabbeledisp {} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x^2+y^2
} {,}
hat in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Wert $0$ und überall sonst positive Werte, daher liegt in $P$ ein
\zusatzklammer {isoliertes} {} {}
\definitionsverweis {globales Minimum}{}{}
vor.
}
Wenn die Funktion
\maabb {f} {M} {\R
} {}
ein lokales Minimum im Punkt
\mathl{P\in M}{} besitzt, so gilt dies auch für die Einschränkung von $f$ auf jede Teilmenge
\mathl{N \subseteq M}{,} die $P$ enthält. Beispielsweise muss ein
\zusatzklammer {lokales} {} {}
Minimum einer Funktion der Ebene auch auf jeder Geraden durch diesen Punkt ein
\zusatzklammer {lokales} {} {}
Minimum sein.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Saddle_point.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Saddle point.png } {} {Ævar Arnfjörð Bjarmason} {PD} {} {}
Dies heißt umgekehrt, dass wenn eine Funktion
\maabb {f} {\R^2} {\R
} {}
auf einer Geraden $L_1$ durch $P$ ein isoliertes lokales Maximum und auf einer anderen Geraden $L_2$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, dass dann kein lokales Extremum vorliegen kann. Solche Punkte nennt man \stichwort {Sattelpunkt} {} oder \stichwort {Pass\-punkt} {,} das Standardbeispiel ist das folgende.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das Verhalten der Funktion
\maabbeledisp {} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x^2-y^2
} {.}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
dieser Funktion auf die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Gerade
\zusatzklammer {also auf der $x$-Achse} {} {}
ist die Funktion
\mathl{x \mapsto x^2}{,} die in $P$ ein
\zusatzklammer {isoliertes} {} {}
\definitionsverweis {globales Minimum}{}{}
besitzt. Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Gerade
\zusatzklammer {also auf der $y$-Achse} {} {}
ist die Funktion
\mathl{y \mapsto -y^2}{,} die in $P$ ein
\zusatzklammer {isoliertes} {} {}
\definitionsverweis {globales Maximum}{}{}
besitzt. Daher kann $f$ in $P$ kein Extremum besitzen. Auf den durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{-x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden ist die Funktion die Nullfunktion.
}
Es sei
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
eine stetige Funktion, die im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} folgende Eingenschaft erfüllt. Zu jeder Geraden
\mathl{G \subseteq \R^2}{} durch den Nullpunkt besitzt die auf $G$ eingeschränkte Funktion ein lokales isoliertes Maximum. Jeder Wanderer, der durch das durch $f$ gegebene Gebirge schnurstracks in eine bestimmte Richtung durch den Punkt läuft, wird also in diesem Punkt ein Gipfelerlebnis haben. Folgt daraus, dass wirklich ein Gipfel vorliegt? Das folgende Beispiel zeigt, dass das nicht der Fall sein muss.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten im $\R^2$ die beiden Kreise
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,}
wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(0,1)}{} und Radius $1$ und $K_2$ den Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} und Radius $2$ habe. $K_1$ liegt innerhalb von $K_2$, und die beiden Kreise berühren sich in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch diese beiden Kreise wird die Ebene
\zusatzklammer {neben den zwei Kreislinien selbst} {} {}
in drei offene Gebiete aufgeteilt: Das Innere des Kreises $K_1$
\zusatzklammer {$=A$} {} {,}
die große offene Kreisscheibe ohne die kleine abgeschlossene Kreisscheibe
\zusatzklammer {$=B$} {} {}
und das Äußere von $K_2$
\zusatzklammer {$=C$} {} {.}
Der innere Kreis $K_1$ wird als Nullstelle der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_1(x,y)
}
{ =} { x^2+(y-1)^2 -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Im Innern von $K_1$ ist diese Funktion negativ, auf $K_1$ hat sie den Wert $0$ und außerhalb davon hat sie positive Werte. Entsprechendes gilt für $K_2$ und die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_2(x,y)
}
{ = }{ x^2+(y-2)^2 -4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f(x,y)
}
{ \defeq} {f_1(x,y) \cdot f_2(x,y)
}
{ =} { { \left( x^2+(y-1)^2 -1 \right) } \cdot { \left( x^2+(y-2)^2 -4 \right) }
}
{ =} { { \left( x^2+y^2 -2y \right) } \cdot { \left( x^2+y^2 -4y \right) }
}
{ =} { x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2
}
}
{}
{}{.}
Diese Funktion nimmt auf den beiden Kreisen den Wert $0$ an, sie ist auf $A$ positiv, auf $B$ negativ und auf $C$ wieder positiv.
Die Funktion $f$ besitzt in $P$ kein lokales Minimum, da sie dort den Wert $0$ besitzt und da jede beliebig kleine Ballumgebung
\mathl{U { \left( P,\epsilon \right) }}{} den Bereich $B$ trifft, wo $f$ negative Werte besitzt. Die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch den Nullpunkt besitzt aber dort ein
\definitionsverweis {lokales Minimum}{}{.}
Es sei dazu $G$ eine solche Gerade. Wenn $G$ die $x$-Achse ist, so verläuft diese Gerade
\zusatzklammer {bis auf $P$ selbst} {} {}
in $C$, wo $f$ nur positive Werte annimmt, sodass in $P$ ein
\zusatzklammer {sogar globales} {} {}
Minimum vorliegt. Es sei also $G$ eine von der $x$-Achse verschiedene Gerade durch $P$. Die eine Hälfte der Geraden verläuft ganz in $C$, wo die Funktion positiv ist. Die andere Hälfte verläuft, ausgehend von $P$, zuerst in $A$, dann in $B$ und schließlich wieder in $C$. Da die Funktion auf $A$ positiv ist, kann man ein Teilintervall
\mathl{[- \delta, \delta]}{} der Geraden derart wählen, dass dieses Teilstück
\zusatzklammer {abgesehen von $P$} {} {}
nur in
\mathkor {} {A} {und} {C} {}
verläuft. Auf diesem Teilintervall nimmt die Funktion in $P$ den Wert $0$ und sonst überall positive Werte an. Daher besitzt die eingeschränkte Funktion ein lokales Minimum. Das dabei zu wählende $\delta$ hängt natürlich wesentlich von der Steigung der Geraden ab, es gibt kein gemeinsames $\delta$ für alle Geraden.
}