Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 69/latex

\setcounter{section}{69}

In diesem Arbeitsblatt geht es ausschließlich um das Lebesgue-Integral, es darf nicht mit dem Riemann-Integral argumentiert werden.

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und es seien \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} und \maabbdisp {f} {N} {\R } {} \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Zeige, dass für die \definitionsverweis {Subgraphen}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi \times \operatorname{Id}_\R)^{-1} (S(f)) }
{ =} {S(f \circ \varphi) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Integral}{}{} der Nullfunktion gleich $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Integral}{}{} einer \definitionsverweis {messbaren Funktion}{}{} über einer \definitionsverweis {Nullmenge}{}{} gleich $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{,} \maabbdisp {f} {M} { \overline{ \R } } {} eine \definitionsverweis {messbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \overline{ \R } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ (x,c) \mid f(x) = c \right\} } }
{ \subseteq} { M \times \overline{ \R } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Nullmenge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{,} sei
\mathl{f}{} eine \definitionsverweis {integrierbare}{}{} \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {numerische Funktionen}{}{} auf $M$ und $a \in \R_{\geq 0}$. Zeige, dass auch $af$ integrierbar ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } af \, d \mu }
{ =} {a \cdot\int_{ M } f \, d \mu }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {abzählbare Menge}{}{,} die mit dem \definitionsverweis {Zählmaß}{}{} versehen sei, und sei \maabbdisp {f} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {integrierbar}{}{} ist, wenn die Familie
\mathbed {f(m)} {}
{m \in M} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {summierbar}{}{} ist, und dass in diesem Fall das \definitionsverweis {Integral}{}{} gleich der \definitionsverweis {Summe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Flächeninhalt}{}{} des \definitionsverweis {Subgraphen}{}{} zur \definitionsverweis {linearen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {cx } {,} über dem Intervall
\mathl{[a,b]}{} mit
\mathl{c \geq 0,\, b \geq a \geq 0}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Flächeninhalt}{}{} des \definitionsverweis {Subgraphen}{}{} zur \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {1 + \sin x } {,} über dem Intervall
\mathl{[0, 2 \pi ]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{M}{} eine Menge und es sei
\mathl{T_n \uparrow M}{} eine Ausschöpfung von $M$ mit Teilmengen
\mathbed {T_n \subseteq M} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.} Zu jedem
\mathl{n \in \N}{} sei
\mathl{A_n \subseteq M \times \R}{} der Subgraph zur Indikatorfunktion
\mathl{e_{ T_n }}{.} Zeige, dass die
\mathbed {A_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine Ausschöpfung von
\mathl{M \times [0,1]}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {} zwei \definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {M } { \overline{ \R } } {} \definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{M \times N} f d \mu \otimes \nu }
{ =} { \nu (N) \cdot \int_M f(x) d \mu (x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[-1,1]} {\R } {t} { 1- t^2 } {.} Für welches
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {L} {\R^n} { \R^n } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ = }{ L(M) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei \maabbdisp {} {N} { \overline{ \R } } {} eine \definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_M { \left( f \circ \varphi \right) } d \lambda^n }
{ =} { \int_N f { \left( \det L \right) }^{-1} d \lambda^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{} und sei \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {integrierbar}{}{} ist. Man gebe auch eine Abschätzung für das Integral
\mathl{\int_{ T } f \, d \lambda^n}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{.} Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abbildung \maabbeledisp {} {M \times \R} {M \times \R } {(x,t)} {(x,t+r) } {,} \definitionsverweis {maßtreu}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Volumen}{}{} des \definitionsverweis {Subgraphen}{}{} zur \definitionsverweis {linearen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {cx+dy } {,} \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c,d }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} über dem Einheitsquadrat
\mathl{[0,1] \times [0,1]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[0,\pi]} {\R } {t} { \sin t } {.} Für welches
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten? Bestimme $a$ numerisch bis auf $5$ Nachkommastellen.

}
{} {}