Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt

Tschebyschow-Abschätzung

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen