Numerischer Abschluss von R/Borel-Mengen/Bemerkung

Wir erinnern daran, dass wir

${}{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}\,$

gesetzt haben. Diese Menge versehen wir mit einer ${}\sigma$-Algebra ${}{\overline {\mathcal {B}}}$, zu der eine Teilmenge ${}T\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}$ genau dann gehört, wenn ${}T\cap \mathbb {R}$ eine Borel-Menge in ${}\mathbb {R}$ ist. Man kann auf ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ auch eine Topologie definieren derart, dass das zugehörige System der Borel-Mengen gleich ${}{\overline {\mathcal {B}}}$ ist. Die (halb)offenen Intervalle bilden wieder ein Erzeugendensysem für ${}{\overline {\mathcal {B}}}$. Auch das Borel-Lebesgue-Maß lässt sich durch ${}\lambda ^{1}(T)=\lambda ^{1}(T\cap \mathbb {R} )$ darauf ausdehnen, d.h. die beiden unendlichen Punkte kann man, wie jeden einzelnen Punkt, für das Borel-Lebesgue-Maß ignorieren.

Auch den Supremumsbegriff für Teilmengen und den Konvergenzbegriff für Folgen kann man auf ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ in naheliegender Weise ausdehnen. Eine nach oben unbeschränkte Menge besitzt ${}+\infty$ als Supremum, und eine Folge reeller Zahlen konvergiert gegen ${}\pm \infty$, wenn sie bestimmt gegen ${}\pm \infty$ divergiert. Eine Funktion ${}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ nennt man auch eine numerische Funktion.