Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 76/latex

\setcounter{section}{76}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {\alpha} {U} {V } {} eine Karte \zusatzklammer {also
\mathl{U \subseteq M}{} und
\mathl{V \subseteq \R^n}{} offen} {} {.} Zeige, dass $\alpha$ ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine Abbildung. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{} von $M$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, wenn alle Einschränkungen
\mathl{\varphi_i= \varphi {{|}}_{U_i}}{} differenzierbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {f,g} {M} {\R } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} auf $M$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Die Abbildung \maabbeledisp {f \times g} {M} {\R^2 } {x} {(f(x),g(x)) } {,} ist differenzierbar. }{$f+g$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} }{$f \cdot g$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} }{Wenn $f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch
\mathl{f^{-1}}{} differenzierbar. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi^*} {C^1(N,\R)} {C^1(M,\R) } {f} {f \circ \varphi } {,} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu
\mathl{m \leq n}{} die Einbettung des Unterraumes
\mathl{\R^m}{} in den $\R^n$, die durch
\mathl{(x_1 , \ldots , x_m) \mapsto (x_1 , \ldots , x_m,0 , \ldots , 0)}{} gegeben ist, \definitionsverweis {beliebig oft differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche
\mathl{S^1 \times {]0,1[}}{} zu
\mathl{S^1 \times \R}{,} zur punktierten Ebene
\mathl{\R^2 \setminus \{(0,0)\}}{} und zu
\mathl{S^2 \setminus \{N,S\}}{} \definitionsverweis {diffeomorph}{}{} ist.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Eine Funktion \maabbdisp {f} {{\mathbb K}^n} { {\mathbb K} } {} heißt \definitionswort {homogen vom Grad}{} $d$, wenn für jeden Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^n}{} und jedes
\mathl{\lambda \in {\mathbb K}}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(\lambda P) }
{ =} { \lambda^d f(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {homogene Funktion}{}{,} die in der \definitionsverweis {Faser}{}{} $F$ über
\mathl{a \neq 0}{} \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Zeige, dass jede Faser zu
\mathl{b \neq 0}{} eine zu $F$ \definitionsverweis {diffeomorphe}{}{} \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{]a,b[}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {]a,b[} {\R_{+} } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Es sei $M$ die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre $C^\infty$-\definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {zweidimensionalen}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass \mathkor {} {M} {und} {M \setminus \{P\}} {} zueinander \definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

In der folgenden Aufgabe interpretiere man ${\mathbb C}$ als $\R^2$.


\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}^2} { {\mathbb C} } {(z,w)} { zw } {.} Für welche Punkte
\mathl{u \in {\mathbb C}}{} ist die Faser über $u$ eine Mannigfaltigkeit? Man gebe jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es seien zwei Punkte \mathkor {} {P} {und} {Q} {} auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} gegeben. Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} der Sphäre in sich gibt, der $P$ in $Q$ überführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4 (1+1+2)}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Zu jeder offenen Teilmenge
\mathl{U \subseteq M}{} betrachten wir die Menge
\mathl{C^1(U,\R)}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{} auf $U$. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass zu
\mathl{V \subseteq U}{} offen und
\mathl{f \in C^1(U,\R)}{} auch die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} $f {{|}}_V$ zu
\mathl{C^1(V,\R)}{} gehört. }{Es sei
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{.} Zeige, dass
\mathl{f=0}{} genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen
\mathl{f {{|}}_{U_i} =0}{} sind. }{Es sei eine Familie
\mathl{f_i \in C^1(U_i,\R)}{} von Funktionen gegeben, die die \anfuehrung{Verträglichkeitsbedingung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_i {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ =} { f_j {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{} gibt mit
\mathl{f {{|}}_{U_i} =f_i}{} für alle $i$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,} die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} \maabbdisp {f,g} {M} {\R } {} gibt mit
\mathl{f,g \neq 0}{,} aber
\mathl{fg=0}{.}

}
{} {}