Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 76
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
eine Karte (also und offen). Zeige, dass ein Diffeomorphismus ist.
Aufgabe
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
eine Abbildung. Es sei eine offene Überdeckung von . Zeige, dass genau dann differenzierbar ist, wenn alle Einschränkungen differenzierbar sind.
Aufgabe
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
- Die Abbildung
- ist differenzierbar.
- ist differenzierbar.
- Wenn keine Nullstelle besitzt, so ist auch differenzierbar.
Aufgabe
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus
induziert.
Aufgabe
Zeige, dass zu die Einbettung des Unterraumes in den , die durch gegeben ist, beliebig oft differenzierbar ist.
Aufgabe
Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche zu , zur punktierten Ebene und zu diffeomorph ist.
Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.
Eine Funktion
heißt homogen vom Grad , wenn für jeden Punkt und jedes die Beziehung
gilt.
Aufgabe
Es sei
eine stetig differenzierbare homogene Funktion, die in der Faser über regulär sei. Zeige, dass jede Faser zu eine zu diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.
Aufgabe
Es sei ein offenes Intervall und
eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.
Aufgabe
Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre - diffeomorph sind.
Aufgabe *
Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit und einem Punkt derart, dass und zueinander diffeomorph sind.
- Aufgaben zum Abgeben
In der folgenden Aufgabe interpretiere man als .
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
Für welche Punkte ist die Faser über eine Mannigfaltigkeit? Man gebe jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps.
Aufgabe (6 Punkte)
Es seien zwei Punkte und auf der Einheitssphäre gegeben. Zeige, dass es einen Diffeomorphismus der Sphäre in sich gibt, der in überführt.
Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge betrachten wir die Menge der differenzierbaren Funktionen auf . Es sei eine offene Überdeckung.
- Zeige, dass zu offen und auch die Einschränkung zu gehört.
- Es sei . Zeige, dass genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen sind.
- Es sei eine Familie von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“
für alle erfüllen. Zeige, dass es ein gibt mit für alle .
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es differenzierbare Funktionen
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