Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 2



Übungsaufgaben

Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.


Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.


Eine Funktion

heißt streng wachsend, wenn für alle mit auch gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion injektiv ist.


Man gebe Beispiele für Abbildungen

derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.


Es seien und natürliche Zahlen. Zeige durch Induktion über , dass aus einer Bijektion

folgt, dass ist.


Es seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?


Es sei eine Menge und ihre Potenzmenge. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Wie lautet die Umkehrabbildung?


Es sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge und der Produktmenge . Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn und zwar eine Vereinigung von ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?


Es sei eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen


Es seien Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

Man mache sich diese Situation für und klar.

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

und wie sich den Graphen einer Abbildung

vorstellen?


Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

ob injektiv bzw. surjektiv ist?


Es sei

eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ):

  1. ,
  2. ,
  3. .


Es sei

eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ):

  1. ,
  2. ,
  3. .

Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen

surjektiv ist.


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen

injektiv ist.


Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Man beschreibe eine Bijektion zwischen und .


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.

Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte auf der Menge die Abbildung

die durch die Wertetabelle

gegeben ist. Berechne , also die -te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von mit sich selbst.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und Mengen. Wir betrachten die Abbildung

bei der einer Abbildung das Urbildnehmen zugeordnet wird.

a) Zeige, dass injektiv ist.

b) Es sei . Zeige, dass nicht surjektiv ist.



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