Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Aufgabe

Eine Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),

heißt streng wachsend, wenn für alle ${}x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ mit ${}x_{1}<x_{2}$ auch ${}f(x_{1})<f(x_{2})$ gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion ${}f$ injektiv ist.

Aufgabe

Man gebe Beispiele für Abbildungen

\varphi ,\psi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}

derart, dass ${}\varphi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass ${}\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Menge und ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ ihre Potenzmenge. Zeige, dass die Abbildung

{\mathfrak {P}}\,(G)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(G),\,T\longmapsto \complement T,

bijektiv ist. Wie lautet die Umkehrabbildung?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

{}M=A\uplus B\,

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ und der Produktmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$ . Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn ${}A$ und ${}B$ zwar eine Vereinigung von ${}M$ ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen

{\mathfrak {P}}\,(G)\,\,{\text{  und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(G,\{0,1\}\right)}.

Aufgabe

Es seien ${}M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

\operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\,\,{\text{  und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)}.

Man mache sich diese Situation für ${}M=N=[0,1]$ und ${}L=\mathbb {R}$ klar.

Aufgabe

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}

und wie sich den Graphen einer Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}

vorstellen?

Aufgabe

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,

ob ${}f$ injektiv bzw. surjektiv ist?

Aufgabe

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen

{\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ${}T,T_{1},T_{2}\subseteq M$ ):

${}F^{-1}(T_{1}\cap T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cap F^{-1}(T_{2})\,,$
${}F^{-1}(T_{1}\cup T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cup F^{-1}(T_{2})\,,$
${}F^{-1}(M\setminus T)=L\setminus F^{-1}(T)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen

{\mathfrak {P}}\,(L)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,S\longmapsto F(S),

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ${}S,S_{1},S_{2}\subseteq L$ ):

${}F(S_{1}\cap S_{2})\subseteq F(S_{1})\cap F(S_{2})$ ,
${}F(S_{1}\cup S_{2})=F(S_{1})\cup F(S_{2})$ ,
${}F(L\setminus S)\supseteq F(L)\setminus F(S)$ .

Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen

{\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),

surjektiv ist.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen

{\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),

injektiv ist.

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ , die durch