Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 22/latex

\setcounter{section}{22}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { { \left( \sin z \right) } { \left( \cos z \right) } } {,} im Nullpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Taylor-Polynome}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^4-2x^3+2x^2-3x+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} { z^3 +3z^2-7z-4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in der neuen Variablen
\mathl{z-2}{} \zusatzklammer {also das umentwickelte Polynom} {} {} auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $2$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{{ \frac{ x }{ x^2+1 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $3$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { x \cdot \sin x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { e^{x^2} -x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Ordnung $4$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { \sin x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt $\pi/2$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $2$ der Funktion \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} { {\mathbb C} } {z} { f(z) = { \frac{ z^2 -z +3 }{ z } } } {,} im Entwicklungspunkt ${ \mathrm i}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{} der \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} für einen beliebigen Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p }
{ \in }{ \R[Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} und \maabbeledisp {g} { \R_+} {\R } {x} { g(x) = p { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} } } {.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $g'(x)$ ebenfalls von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(x) }
{ =} {q { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem weiteren Polynom $q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = e^{- \frac{1}{x} } } {.} Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die $n$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{f^{(n)}}{} die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \in \R_+ , \, x \rightarrow 0 } \, f^{(n)}(x) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Wendepunkt}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} { \R_+ } { \R } { x } { e^{- { \frac{ 1 }{ x } } } } {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^{n-1} e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} j k }{ n } } } }
{ =} { \begin{cases} n, \text{ falls } j \text{ ein Vielfaches von } n \text{ ist}, \\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \sin \left( \cos z \right) + z^3 \exp \left( z^2 \right) } {,} im Entwicklungspunkt $0$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} {z^3+(4- { \mathrm i} )z^2-2{ \mathrm i}z+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} in der neuen Variablen
\mathl{z-1-{ \mathrm i}}{} \zusatzklammer {also das umentwickelte Polynom} {} {} auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $1+{ \mathrm i}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[0,2 \pi]} {\R } {x} {f(x) = { \left( \sin x \right) } { \left( \cos x \right) } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Sei
\mathbed {\epsilon} {}
{0 < \epsilon \leq { \frac{ 1 }{ 3 } }} {}
{} {} {} {,} vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} gibt mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 0 \text{ für } x \leq 0 \, , \\ 1 \text{ für } x \geq \epsilon \text{ und } x \leq 1 - \epsilon \, , \\ 0 \text{ für } x \geq 1 \, .\end{cases}} { }

}
{} {}