Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es in $\Q$ kein Element $x$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^2
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert $x_0$ die Quadratwurzel von
\mathl{c \in \R_+}{} berechnen möchte?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl
\mathl{c \in \R_-}{}
\zusatzklammer {mit einem positiven Startwert $x_0$} {} {}
berechnen möchte?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, dass $K$ genau dann
\definitionsverweis {archimedisch angeordnet}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
der
\definitionsverweis {Stammbrüche}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } },\, n \geq 1}{,} gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die folgenden \zusatzklammer {Pseudo} {} {-}Definitionen.
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
und es sei
\mathl{x \in K}{.}
\aufzaehlungacht{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {hypervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und alle
\mathl{n \in \N}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {supervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon \geq 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {megavergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} und jedes
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {pseudovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n \in \N}{} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {semivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und jedem
\mathl{n_0 \in \N}{} gibt es ein
\mathl{n \in \N}{,}
\mathl{n \geq n_0}{,} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {protovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
derart, dass für alle
\mathl{n \in \N}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {quasivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {deuterovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n-x
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Vergleiche diese Definitionen mit der Definition von Konvergenz. Worin besteht der Unterschied? Welche Bedeutung haben die einzelnen Definitionen? Welche Definitionen sind zueinander äquivalent, zwischen welchen besteht eine Implikation \zusatzklammer {Beweis oder Gegenbeispiel} {} {?}
Für welche Definitionen ist das $x$ eindeutig bestimmt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine gegen $x$ konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen $x$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Folge}{}{,} die nicht konvergiert, aber eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man untersuche die folgenden Teilmengen $M \subseteq \Q$ auf die Begriffe \definitionsverweis {obere Schranke}{}{,} \definitionsverweis {untere Schranke}{}{,} \definitionsverweis {Supremum}{}{,} \definitionsverweis {Infimum}{}{,} \definitionsverweis {Maximum}{}{} und \definitionsverweis {Minimum}{}{.} \aufzaehlungneun{ $\{2,-3,-4,5,6,-1,1\}$, }{ $\left \{\frac{1}{2},\frac{-3}{7} , \frac{-4}{9} , \frac{5}{9} , \frac{6}{13} , \frac{-1}{3}, \frac{1}{4} \right \}$, }{ $]-5, 2]$, }{ ${ \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \N_+ \right\} }$, }{ ${ \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\}$, }{ $\Q_-$, }{ ${ \left\{ x \in \Q \mid x^2 \leq 2 \right\} }$, }{ ${ \left\{ x \in \Q \mid x^2 \leq 4 \right\} }$, }{ ${ \left\{ x^2 \mid x \in \Z \right\} }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $M \subseteq K$ eine Teilmenge, die ein Supremum $T$ besitze. Zeige, dass $T$ genau dann das Maximum von $M$ ist, wenn $T \in M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr
\mathl{7:21}{}
\zusatzklammer {die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe} {} {.}
Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie
\mathl{7:26}{} an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.
}
{} {}
In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.
Die Folge der \definitionswort {Fibonacci-Zahlen}{} $f_n$ ist rekursiv definiert durch
\mathdisp {f_1 \defeq 1 \, , f_2 \defeq 1 \text{ und } f_{n+2} \defeq f_{n+1} +f_{n}} { . }
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise durch Induktion die \stichwort {Simpson-Formel} {} oder Simpson-Identität für die
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{}
$f_n$. Sie besagt
\zusatzklammer {für \mathlk{n \geq 2}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_{n+1} f_{n-1} - f_n^2
}
{ =} {(-1)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise durch Induktion die \stichwort {Binet-Formel} {} für die
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{.}
Diese besagt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ =} { \frac{ { \left( \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right) }^n - { \left( \frac{1-\sqrt{5} }{2} \right) }^n}{\sqrt{5} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $K$ mit
\mathl{x_n >0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass die Folge genau dann
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist, wenn ${ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }$ gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} für die es sowohl eine
\definitionsverweis {bestimmt}{}{}
gegen $+ \infty$ als auch eine bestimmt gegen $- \infty$ divergente
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine bestimmt gegen $+\infty$ \definitionsverweis {divergente}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{} in $K$ \definitionsverweis {nach unten beschränkt}{}{} ist.
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} die nach unten, aber nicht nach oben beschränkt ist, und die nicht bestimmt divergent gegen $+ \infty$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Häufungspunkte der Folge
\mathl{(a_n)_{n \in \N}}{}, welche durch
\mathdisp {a_n = (-1)^n \left(1- \frac{1}{n} \right) - \frac{1}{n}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
in $K$ mit
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$x$. Zeige, dass dann auch die Folge
\mathdisp {{ \left( \betrag { x_n } \right) }_{ n \in \N }} { }
konvergiert, und zwar gegen $\betrag { x }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} {x^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe Beispiele für
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ mit
\mathbed {x_n \neq 0} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
und mit $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=0$ derart, dass die Folge
\mathdisp {{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert,
}{gegen $1$ konvergiert,
}{divergiert.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle Folge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $x$ genau dann ein
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
der Folge ist, wenn es eine gegen $x$
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
gibt.
}
{} {}
<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I | >> |
---|