Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 4



Übungsaufgaben

Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen und liegen.


Zeige, dass mit der durch (bei ), falls in gilt, definierten Beziehung ein angeordneter Körper ist (dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf verwendet werden).


Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.


Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?


Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn ist.

(Bemerkung: Diese Aussage kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes die Beziehung gilt.


Beweise die folgenden Aussagen:

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. ,
  2. Aus und folgt ,
  3. Aus und folgt .


Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass dann ist.


Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.

Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für das inverse Element gilt.


Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für die inversen Elemente gilt.


Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.


Zeige, dass der in Aufgabe 3.22 konstruierte Körper nicht angeordnet werden kann.


Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe 3.6 eingeführte Abbildung

injektiv ist.


Zeige die Abschätzung


Zeige die Abschätzung

für .


Zeige die Abschätzung

für .


Es sei ein angeordneter Körper und es seien Elemente in . Zeige, dass für das arithmetische Mittel die Beziehung

gilt.


Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper , die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)
b)


Es sei ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in die (positiven) Elemente und existieren. Welches ist größer?


Es sei ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.


Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

in einem angeordneten Körper (dabei seien beliebige Elemente in ).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist genau dann, wenn oder ist.
  4. Es ist .
  5. Es ist .
  6. Für ist .
  7. Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
  8. Es ist .


Unter welchen Bedingungen gilt für reelle Zahlen die Gleichheit


Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle

eine disjunkte Überdeckung von bilden.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper, bei dem eine Teilmenge ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

  1. Für ist entweder oder oder .
  2. Aus folgt .
  3. Aus folgt .

Zeige, dass durch die Festlegung

ein angeordneter Körper entsteht.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe 3.6 konstruierte Zuordnung .

a) Zeige, dass diese Zuordnung injektiv ist.

b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in mit den Verknüpfungen in übereinstimmen und die Ordnung auf mit der Ordnung auf übereinstimmt.


Aufgabe (8 (2+4+1+1) Punkte)

Betrachte die Menge

wobei zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ist und dass zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass zu einem angeordneten Körper wird und dass positiv wird.

c) Fasse die Elemente von als Punkte im auf. Skizziere eine Trennlinie im , die die positiven von den negativen Elementen in trennt.

d) Ist das Element positiv oder negativ?


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und seien Elemente. Zeige, dass dann

gilt.



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