Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 6/latex

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\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine Nullfolge in $K$ und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine beschränkte Folge in $K$. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $( x_n y_n)_{n \in \N}$ eine Nullfolge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 6.1.

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe brauchen wir den Begriff der Polynomfunktion.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $a_0,a_1 , \ldots , a_d \in K$. Eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {P} {K} {K } {x} {P(x) } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x) }
{ =} { \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i} }
{ =} { a_0 + a_1 x + \cdots + a_{ d } x^{ d } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Polynomfunktion}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei $P(x) = \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}$ eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $K$ mit Grenzwert $x$. Zeige durch Induktion über $d$, dass dann auch die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_n }
{ \defeq} { P(x_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Folge konvergiert, und zwar gegen $P(x)$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ 7n^3-3n^2+2n-11 }{ 13n^3-5n+4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierten \definitionsverweis {Folge}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} zwei \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \geq }{ y_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n }
{ \geq }{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$. Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$, die \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$, die eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine nichtnegative \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die rekursiv definierte \definitionsverweis {Folge}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ \defeq} { \frac{ x_n + a/x_n }{2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegen $\sqrt{a}$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}-n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine wachsende Folge in $K$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge ${ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }$ ein \definitionsverweis {Supremum}{}{} besitzt.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Eine Teilmenge
\mathl{T \subseteq K}{} heißt ein \definitionswort {Abschnitt}{,} wenn für alle
\mathl{a,b \in T}{} mit
\mathl{a \leq b}{} und jedes
\mathl{x \in K}{} mit
\mathl{a \leq x \leq b}{} auch
\mathl{x \in T}{} ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass jedes \definitionsverweis {Intervall}{}{} \zusatzklammer {einschließlich der unbeschränkten Intervalle} {} {} in $K$ ein \definitionsverweis {Abschnitt}{}{} ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in $\Q$, der kein Intervall ist.

Zeige, dass in $\R$ jeder Abschnitt ein Intervall ist.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe setzt Kenntnisse in linearer Algebra voraus.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V }
{ =} { K^{\N_+} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} aller \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$ \zusatzklammer {mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation} {} {.}

a) Zeige \zusatzklammer {ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden} {} {,} dass die Menge der Nullfolgen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ (x_n)_{n \in \N_+} \mid (x_n)_{n \in \N_+} \text{ konvergiert gegen 0} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein $K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $V$ ist.

b) Sind die beiden Folgen
\mathdisp {( 1/n)_{ n \in \N_+} \text{ und } (1/n^2)_{ n \in \N_+}} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} in $V$?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Folge
\mathdisp {x_n = 5 \left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^3-4\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^2+2\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)-3} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $K$ mit \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $x$. Zeige, dass dann auch die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_n }
{ \defeq} { \frac{ x_0 + x_1 + \cdots + x_n }{n+1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Folge gegen $x$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und seien \mathkor {} {P(x) = \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}} {und} {Q(x) = \sum_{ i = 0 }^{ e } b_{ i } x^{ i}} {} \definitionsverweis {Polynome}{}{} mit $a_d, b_e \neq 0$. Man bestimme in Abhängigkeit von \mathkor {} {d} {und} {e} {,} ob die durch
\mathdisp {z_n = \frac{P(n)}{Q(n)}} { }
\zusatzklammer {für $n$ hinreichend groß} {} {} definierte \definitionsverweis {Folge}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{} oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und sei $P(x) = \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} mit $d \geq 1$ und $a_d \neq 0$ . Zeige, dass dann die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_n }
{ \defeq} { P(n) }
{ =} { \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } n^{ i} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Folge bestimmt gegen $+ \infty$ \definitionsverweis {divergiert}{}{,} falls $a_d>0$ ist, und bestimmt gegen $- \infty$ divergiert, falls $a_d <0$ ist.

Man folgere, dass die Folgenglieder
\mathdisp {\frac{1}{y_n}} { }
für $n$ hinreichend groß definiert sind und gegen $0$ konvergieren.

}
{} {}