Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 7



Übungsaufgaben

Zeige, dass das Quadrieren

eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel

eine wachsende Funktion ist.


Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen und die Beziehung

besteht.


Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Tipp: Satz des Pythagoras.



Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge (also jedem ) die Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Tipp: Satz des Pythagoras und Bild rechts.

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .


Es sei eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ?


Die beiden reellen Zahlen und seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung

und

gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen konvergiert.


Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.


Zu zwei reellen Zahlen und heißt

das arithmetische Mittel.


Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen und heißt

das geometrische Mittel.


Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.


Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch

Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.


Es sei , , eine Intervallschachtelung in und sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.


Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.


Es sei und . Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert durch

eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.


Es sei , , und . Zeige .


Es seien und beschränkte Teilmengen von . Ferner sei und .

  1. Zeige, dass .
  2. Wie lautet die entsprechende Formel für ?
  3. Zeige, dass .
  4. Was lässt sich über sagen?
  5. Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?


Es sei ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.


Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

b)


Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von

Für welches wird diese Genauigkeit erreicht?


Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die durch

gegebene Folge auf Konvergenz.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus .

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass vollständig ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass jede Folge in eine monotone Teilfolge besitzt.


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