Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 8



Übungsaufgaben

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form mit reellen Zahlen angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .


Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.


Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.


Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein Körper ist.


Skizziere die folgenden Teilmengen.

  1. ,
  2. ,
  3. .


a) Berechne

b) Bestimme das inverse Element zu

c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?


Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Finde zu einer komplexen Zahl

die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.


Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Für ist
  5. Es ist genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.


Berechne


Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Es ist .
  5. Für ist .


Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

  1. Es ist .
  2. Für reelles stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
  3. Es ist genau dann, wenn ist.
  4. Für ist .


Zeige, dass eine Folge komplexer Zahlen

genau dann konvergiert, wenn sowohl als auch konvergiert. Für den Grenzwert gilt dabei


Es seien und konvergente Folgen in . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Die Folge ist konvergent und es gilt
  2. Die Folge ist konvergent und es gilt
  3. Für gilt
  4. Es sei und für alle . Dann ist ebenfalls konvergent mit
  5. Es sei und für alle . Dann ist ebenfalls konvergent mit


Es sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Es sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge divergiert.


Bestätige die in Beispiel 8.11 angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl im Fall .


Es seien mit . Zeige, dass es für die Gleichung

mindestens eine komplexe Lösung gibt.


Es seien mit . Man charakterisiere, wann es für die Gleichung

genau eine Lösung in gibt und wann zwei Lösungen.


Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung


Der Begriff eines Häufungspunktes lässt sich unmittelbar auf komplexe Folgen erweitern.

Bestimme die Häufungspunkte der komplexen Folge . Man gebe für jeden Häufungspunkt eine Teilfolge an, die gegen diesen Punkt konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die komplexen Zahlen

für .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Für ist .
  5. Es ist .
  6. Es ist genau dann, wenn ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von .


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde alle drei komplexen Zahlen , die die Bedingung

erfüllen.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien komplexe Zahlen in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius , also in , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt mit der Eigenschaft

gibt.



<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)