Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Definitionsliste



Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der beiden Mengen.



Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Abbildung

Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.



Definition:Injektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.



Definition:Surjektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

gibt.



Definition:Bijektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.



Definition:Umkehrabbildung

Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .



Definition:Hintereinanderschaltung

Es seien und Mengen und

und

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .



Definition:Bild unter einer Abbildung

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt das Bild von unter . Für heißt

das Bild der Abbildung.



Definition:Urbild unter einer Abbildung

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt

das Urbild von unter . Für eine einelementige Teilmenge heißt

das Urbild von .



Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung



Definition:Kommutative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit

gilt.



Definition:Assoziative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

gilt.



Definition:Neutrales Element

Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit gilt.



Definition:Inverses Element

Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

und einem neutralen Element gegeben. Dann heißt zu einem Element ein Element inverses Element, wenn die Gleichheit

gilt.



Definition:Gruppe

Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
  2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
  3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit


Definition:Körper (ausführlich)

Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .


Definition:Rationale Zahl

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit bezeichnet.



Definition:Fakultät

Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

die Fakultät von (sprich Fakultät).



Definition:Binomialkoeffizient

Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

den Binomialkoeffizienten über “.



Definition:Relation

Es seien und Mengen. Eine Relation zwischen und ist eine Teilmenge .



Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Aus und folgt stets .
  3. Aus und folgt .


Definition:Lineare Ordnung

Eine Ordnungsrelation auf einer Menge heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.



Definition:Angeordneter Körper

Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt (für beliebige ),
  2. Aus und folgt (für beliebige ),

erfüllt.



Definition:Intervalle

Es sei ein angeordneter Körper. Zu , , nennt man

    das abgeschlossene Intervall.

    das offene Intervall.

    das linksseitig offene Intervall.

    das rechtsseitig offene Intervall.



    Definition:Betrag (angeordneter Körper)

    In einem angeordneten Körper ist der Betrag eines Elementes folgendermaßen definiert.



    Definition:Archimedisch angeordnet

    Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

    gibt.



    Definition:Gaußklammer

    Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und . Die Gaußklammer von ist durch

    definiert.



    Definition:Folge

    Es sei eine Menge. Eine Abbildung

    nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form

    geschrieben.



    Definition:Konvergenz einer Folge

    Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

    Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

    Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.



    Definition:Beschränktheits-Eigenschaften

    Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge.

    1. Ein Element heißt eine obere Schranke für , wenn für alle gilt.
    2. Ein Element heißt eine untere Schranke für , wenn für alle gilt.
    3. heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für existiert.
    4. heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für existiert.
    5. heißt beschränkt, wenn sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
    6. Ein Element heißt das Maximum von , wenn für alle gilt.
    7. Ein Element heißt das Minimum von , wenn für alle gilt.
    8. Eine obere Schranke von heißt das Supremum von , wenn für alle oberen Schranken von gilt.
    9. Eine untere Schranke von heißt das Infimum von , wenn für alle unteren Schranken von gilt.


    Definition:Teilfolge

    Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.



    Definition:Häufungspunkt

    Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper . Ein Element heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.



    Definition:Bestimmt divergent

    Eine Folge in einem angeordneten Körper heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt. Sie heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.



    Definition:Wachsende Folge

    Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Dann heißt die Folge wachsend, wenn ist für alle , und streng wachsend, wenn ist für alle . Die Folge heißt fallend, wenn ist für alle und streng fallend, wenn ist für alle .



    Definition:Cauchy-Folge

    Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt.



    Definition:Vollständig angeordneter Körper

    Ein angeordneter Körper heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert (also in einen Grenzwert besitzt).



    Definition:Körper der reellen Zahlen

    Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit bezeichnet.



    Definition:Intervallschachtelung

    Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.



    Definition:Eulersche Zahl

    Die reelle Zahl

    heißt Eulersche Zahl.



    Definition:Komplexe Zahlen

    Die Menge mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

    bezeichnet.



    Definition:Real- und Imaginärteil

    Zu einer komplexen Zahl

    heißt

    der Realteil von und

    heißt der Imaginärteil von .



    Definition:Komplexe Konjugation

    Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.



    Definition:Betrag einer komplexen Zahl

    Zu einer komplexen Zahl

    ist der Betrag durch

    definiert.



    Definition:Reihe

    Es sei eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen

    Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

    und nennt ihn die Summe der Reihe.



    Definition:Absolute Konvergenz einer Reihe

    Eine Reihe

    von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.



    Definition:Polynomring

    Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen

    mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.



    Definition:Grad eines Polynoms

    Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .



    Definition:Rationale Funktion

    Zu Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.



    Definition:Gleichmächtigkeit von Mengen

    Zwei Mengen und heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

    gibt.


    Definition:Endliche Menge

    Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

    gibt.



    Definition:Abzählbar

    Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung

    gibt.



    Definition:Abzählbar unendlich

    Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn sie abzählbar, aber nicht endlich ist.



    Definition:Stetige Funktion

    Es sei eine Teilmenge,

    eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.



    Definition:Grenzwert einer Funktion

    Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei

    eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für jedes aus

    die Abschätzung

    folgt. In diesem Fall schreibt man



    Definition:Maximum und Minimum

    Es sei eine Menge und

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn

    und dass das Minimum annimmt, wenn



    Definition:Lokales Maximum und Minimum

    Es sei eine Teilmenge und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.



    Definition:Gleichmäßig stetig

    Es sei eine Teilmenge,

    eine Funktion. Dann heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle mit ist .



    Definition:Stetige Fortsetzung

    Es sei eine Teilmenge,

    eine stetige Funktion und es sei . Dann heißt eine Abbildung

    eine stetige Fortsetzung von , wenn stetig ist und für alle gilt.



    Definition:Berührpunkt

    Es sei . Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.



    Definition:Reelle Exponentialfunktion zu einer Basis

    Es sei eine positive reelle Zahl. Die Funktion

    heißt Exponentialfunktion zur Basis .



    Definition:Cauchy-Produkt

    Zu Reihen und komplexer Zahlen heißt die Reihe

    das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.



    Definition:Potenzreihe

    Es sei eine Folge von komplexen Zahlen und eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

    die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .



    Definition:Exponentialreihe

    Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .



    Definition:Exponentialfunktion

    Die Abbildung

    heißt (komplexe) Exponentialfunktion.



    Definition:Sinusreihe und Kosinusreihe

    Für heißt

    die Kosinusreihe und

    die Sinusreihe zu .



    Definition:Punktweise konvergente Funktionenfolge

    Es sei eine Menge und

    () eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

    (in ) konvergiert.



    Definition:Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge

    Es sei eine Menge und

    () eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

    derart gibt, dass es zu jedem ein mit

    gibt.



    Definition:Supremumsnorm

    Es sei eine Menge und

    eine Funktion. Dann nennt man

    das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .



    Definition:Konvergenzradius

    Für eine Potenzreihe

    heißt

    der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .



    Definition:Natürlicher Logarithmus

    Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.



    Definition:Exonentialfunktion zu einer Basis

    Zu einer positiven reellen Zahl definiert man die Exponentialfunktion zur Basis von als



    Definition:Logarithmus zu einer Basis

    Zu einer positiven reellen Zahl , , wird der Logarithmus zur Basis von durch

    definiert.



    Definition:Summierbare Familie

    Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für alle endlichen Teilmengen mit die Beziehung

    gilt. Dabei ist . Im summierbaren Fall heißt die Summe der Familie.



    Definition:Cauchy-Familie

    Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem eine endliche Teilmenge derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge mit die Beziehung

    gilt. Dabei ist .



    Definition:Differenzenquotient

    Es sei offen, ein Punkt und

    eine Funktion. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .



    Definition:Differenzierbarkeit

    Es sei offen, ein Punkt und

    eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

    existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in , geschrieben



    Definition:Ableitungsfunktion

    Es sei offen und

    eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt die Ableitung von in existiert. Die Abbildung

    heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von .



    Definition:Höhere Ableitungen

    Es sei offen und

    eine Funktion. Man sagt, dass -mal differenzierbar ist, wenn -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung differenzierbar ist. Die Ableitung

    nennt man dann die -te Ableitung von .



    Definition:N-mal stetig differenzierbar

    Es sei offen und

    eine Funktion. Man sagt, dass n-mal stetig differenzierbar ist, wenn n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung stetig ist.



    Definition:Konvexe Teilmenge

    Eine Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

    ebenfalls zu gehört.



    Definition:Subgraph

    Es sei eine Teilmenge und

    eine Funktion. Dann nennt man die Menge

    den Subgraphen und

    den Epigraphen der Funktion.



    Definition:Konvexe Funktion

    Es sei ein Intervall und

    eine Funktion. Man sagt, dass konvex ist, wenn der Epigraph konvex ist.



    Definition:Konkave Funktion

    Es sei ein Intervall und

    eine Funktion. Man sagt, dass konkav ist, wenn der Subgraph konvex ist.



    Definition:Wendepunkt

    Es sei

    eine auf einem Intervall definierte Funktion und ein innerer Punkt von . Man sagt, dass in ein Wendepunkt von vorliegt, wenn es ein derart gibt, dass auf konvex (konkav) und auf konkav (konvex) ist.



    Definition:Die Zahl

    Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall . Die Kreiszahl ist durch

    definiert.



    Definition:Komplexe Einheitswurzel

    Es sei . Dann heißen die komplexen Nullstellen des Polynoms

    -te komplexe Einheitswurzeln.



    Definition:Taylor-Polynom

    Es sei eine offene Teilmenge,

    eine -mal differenzierbare Funktion und . Dann heißt

    das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .



    Definition:Taylor-Reihe

    Es sei eine offene Teilmenge,

    eine -oft differenzierbare Funktion und . Dann heißt

    die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt .



    Definition:Treppenfunktion

    Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen . Dann heißt eine Funktion

    eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von derart gibt, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.



    Definition:Treppenintegral

    Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen und sei

    eine Treppenfunktion zur Unterteilung und den Werten , . Dann heißt

    das Treppenintegral von auf .



    Definition:Obere Treppenfunktion

    Es sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

    eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist. Eine Treppenfunktion

    heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.



    Definition:Oberes Treppenintegral

    Es sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral

    ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von auf .



    Definition:Unteres Treppenintegral

    Es sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt

    ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von auf .



    Definition:Oberintegral

    Es sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von das Oberintegral von .



    Definition:Unterintegral

    Es sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von das Unterintegral von .



    Definition:Riemann-integrierbar (kompaktes Intervall)

    Es sei ein kompaktes Intervall und sei

    eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.



    Definition:Bestimmtes Integral

    Es sei ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von über . Es wird mit

    bezeichnet.



    Definition:Riemann-integrierbar

    Es sei ein reelles Intervall und sei

    eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.



    Definition:Integralfunktion

    Es sei ein reelles Intervall und sei

    eine Riemann-integrierbare Funktion und . Dann heißt die Funktion

    die Integralfunktion zu zum Startpunkt .



    Definition:Stammfunktion

    Es sei offen und sei

    eine Funktion. Eine Funktion

    heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.



    Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung

    Es sei eine Teilmenge und es sei

    eine Funktion. Dann nennt man

    die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ).



    Definition:Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung

    Es sei eine Teilmenge und es sei

    eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

    heißt eine Funktion

    auf einem (mehrpunktigen) Intervall eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

    1. Es ist für alle .
    2. Die Funktion ist differenzierbar.
    3. Es ist für alle .


    Definition:Anfangswertproblem

    Es sei eine Teilmenge und es sei

    eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man

    das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .



    Definition:Lösung des Anfangswertproblems

    Es sei eine Teilmenge und es sei

    eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion

    auf einem Intervall eine Lösung des Anfangswertproblems

    wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

    gilt.



    Definition:Ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

    Eine gewöhnliche Differentialgleichung

    heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.



    Definition:Zeitunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

    Eine gewöhnliche Differentialgleichung

    heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.



    Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen

    Eine Differentialgleichung der Form

    mit zwei Funktionen (dabei sind und reelle Intervalle)

    und

    heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.



    Eine Differentialgleichung der Form

    mit zwei Funktionen (dabei sind und reelle Intervalle)

    und

    heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.