Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 34/latex

\setcounter{section}{34}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die konstante Abbildung \maabbeledisp {f} {L} {M } {x} {m } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die Identität \maabbeledisp {} {M} {M } {x} {x } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge mit der \definitionsverweis {induzierten Metrik}{}{.} Zeige, dass die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ < }{ b }
{ < }{ c }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{.} Es seien \maabbdisp {f} { [a,b] } { M } {} und \maabbdisp {g} {[b,c]} {M } {} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(b) }
{ = }{ g(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann die Abbildung \maabbdisp {h} {[a,c]} {M } {} mit
\mathdisp {h(t) = f(t) \text{ für } t \leq b \text{ und } h(t) = g(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei \maabbdisp {f} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(y) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $y$ aus einer offenen Ballumgebung von $x$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Addition}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} \times {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {(x,y)} {x+y } {,} und die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} \times {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {(x,y)} {x \cdot y } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $L,M,N$ \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und seien
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g: M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Es sei $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} in $x \in L$ und es sei $g$ stetig in $f(x) \in M$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {,} stetig in $x$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C} } {{\mathbb C} } {z} { \betrag { z } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} \maabbeledisp {} {V} {\R } {v} { \Vert {v} \Vert } {,} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} { {\max { \left( x , y \right) } } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} { \R^2 } { \R } {,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ \defeq} { \begin{cases} 0 \, , \text{ falls } x \leq 0 \, , \\ 0 \, , \text{ falls } y \leq 0 \, , \\ y/x \, , \text{ falls } x \geq y > 0 \, , \\ x/y \, , \text{ falls } y >x > 0 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jeder zur $x$-Achse oder zur $y$-Achse parallelen Geraden \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, dass aber $f$ selbst nicht stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im \definitionsverweis {euklidischen Raum}{}{} $\R^n$. Zeige, dass $V$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} im $\R^n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Graph}{}{} von $f$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $\R^2$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $L$ und $M$ \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und es seien \maabbdisp {f,g} {L} {M } {} zwei \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N }
{ =} { { \left\{ x \in L \mid f(x) = g(x) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $L$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \stichwort {trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises} {,} also die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {[0,2 \pi [} {\R^2 } {t} { ( \cos t, \sin t ) } {.} Zeige, dass $\varphi$ eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathl{[0,2 \pi[}{} und dem \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} definiert, die \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} aber nicht stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {euklidischen Metrik}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Es sei \maabbdisp {f} {Y} {X } {} die \definitionsverweis {Identität}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $f^{-1}$ aber nicht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {offene Einheitsintervall}{}{}
\mathl{]0,1[}{} und das \definitionsverweis {abgeschlossene Einheitsintervall}{}{}
\mathl{[0,1 ]}{} nicht \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Stifte eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} zwischen der \definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{} und dem abgeschlossenen Quadrat.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I=[a,b[}{} ein \definitionsverweis {halboffenes Intervall}{}{.} Kann man $I$ in zwei disjunkte \definitionsverweis {Unterräume}{}{}
\mathl{I=T_1 \cup T_2}{} derart zerlegen, dass \mathkor {} {T_1} {und} {T_2} {} untereinander \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $\R^n$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen
\mathl{z_i,\, i=1 , \ldots , n}{.} Zeige, dass $f$ auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb K}^m } { {\mathbb K}^n } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{,} die in jeder \definitionsverweis {Komponente}{}{} \definitionsverweis {polynomial}{}{} sei und sei \maabbdisp {g} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} eine \definitionsverweis {polynomiale Funktion}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^{n^2} \cong\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K}) } { {\mathbb K} } {M} { \det M } {,} eine \definitionsverweis {polynomiale Funktion}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N}{} und sei
\mathl{G= \operatorname{Gl} (n, \R)}{} die Menge der \definitionsverweis {reellen}{}{} \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {G} {G } {M} {M^{-1} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {.} Ist das \definitionsverweis {Urbild}{}{} eines \definitionsverweis {offenen Balles}{}{} $U { \left( y,\epsilon \right) } \subseteq M$ stets wieder ein offener Ball in $L$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {[0,1]} {[0,1] } {x} {x^n } {.} Berechne die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} dieser Funktionenfolge, deren Integral \zusatzklammer {wenn es existiert} {} {,} die Integrale
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f_n(t) \, d t}{} und deren Grenzwert für
\mathl{n \rightarrow \infty}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Im Nullpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} befinde sich die Pupille eines Auges \zusatzklammer {oder eine Linse} {} {} und die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bestimmte Ebene sei die Netzhaut
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \cong }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {oder eine Fotoplatte} {} {.} Bestimme die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \R_+ \times \R \times \R } { \R^2 } {,} die das Sehen \zusatzklammer {oder Fotografieren} {} {} beschreibt \zusatzklammer {d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet} {} {.} Ist diese Abbildung \definitionsverweis {stetig}{}{,} ist sie \definitionsverweis {linear}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Ein Billardtisch sei $127$ cm breit und $254$ cm lang, die Kugeln haben einen Radius von $2$ cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis\zusatzfussnote {Diese Aufgabe ergibt auch Sinn, wenn die Löcher volle Kreise um die Eckpunkte sind, hat aber ein anderes Ergebnis} {.} {} mit Radius $5$ cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.

Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?

Eine Kugel soll nun direkt \zusatzklammer {ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln} {} {} in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren \anfuehrung{Äquator}{} durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:

a) (63.5, 63.5)

b) (100, 100)

c) (63.5, 192,5)

d) (63.5, 10)

Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} zwischen $]0,1[$ und $\R$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{I={]a,b[}}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{.} Kann man $I$ in zwei disjunkte \definitionsverweis {Unterräume}{}{}
\mathl{I=T_1 \cup T_2}{} derart zerlegen, dass \mathkor {} {T_1} {und} {T_2} {} untereinander \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind?

}
{} {}

\inputaufgabe
{10}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {abgeschlossenes Intervall}{}{.} Kann man $I$ in zwei disjunkte \definitionsverweis {Unterräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{T_1 \cup T_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart zerlegen, dass \mathkor {} {T_1} {und} {T_2} {} untereinander \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind?

}
{} {}