Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Definitionsliste

Definition:Grenzwert einer Funktion gegen unendlich

Es sei ${}T=[a,\infty ]$ (oder ${}T=[-\infty ,a]$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ für ${}x\rightarrow +\infty$ (bzw. $x\rightarrow -\infty$), wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}x_{0}\geq a$ (bzw. ${}x_{0}\leq a$) gibt mit ${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon$ für alle ${}x\geq x_{0}$ (bzw. ${}x\leq x_{0}$). In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b\,$

(bzw. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow -\infty }\,f(x)=b$).

Definition:Uneigentliches Integral

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$ und ${}a\in I$. Es sei eine stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu ${}f$ für ${}x\rightarrow r$ existiert, wenn der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

und nennt dies das uneigentliche Integral von ${}a$ nach ${}r$

Definition:Beidseitig uneigentliches Integral

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten ${}r$ und ${}s$ von ${}I$. Es sei eine stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

existiert, wenn für ein ${}a\in I$ die beiden einseitig uneigentlichen Integrale

$\int _{r}^{a}f(t)\,dt\,\,{\text{ und }}\,\,\int _{a}^{s}f(t)\,dt$

existieren. In diesem Fall setzt man

${}\int _{r}^{s}f(t)\,dt:=\int _{r}^{a}f(t)\,dt+\int _{a}^{s}f(t)\,dt\,$

und nennt dies das uneigentliche Integral zu ${}f$ von ${}r$ nach ${}s$.

Definition:Die Riemannsche Zetafunktion

Die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion ist für ${}s\in \mathbb {R}$ mit ${}s>1$ durch

${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

definiert.

Definition:Fakultätsfunktion

Für ${}x\in \mathbb {R}$, ${}x>-1$, heißt die Funktion

$x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

die Fakultätsfunktion.

Definition:Skalarprodukt

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, ${}x_{1},x_{2}\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

   für alle ${}v,w\in V$.

3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Definition:Euklidischer Vektorraum

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Definition:Skalarprodukt (komplexer Vektorraum)

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$, ${}x_{1},x_{2},y\in V$ und

   ${}\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$, ${}x,y_{1},y_{2}\in V$.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$

   für alle ${}v,w\in V$.

3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Definition:Standardskalarprodukt (komplex)

Das auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ durch

${}\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,$

gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.

Definition:Norm (zu Skalarprodukt)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann nennt man zu einem Vektor ${}v\in V$ die reelle Zahl

${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

die Norm von ${}v$.

Definition:Abstand (euklidischer Vektorraum)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zu Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert \,$

den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$.

Definition:Isometrie

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ eine Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ gilt:

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

Definition:Metrischer Raum

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn ${}x=y$ ist (Definitheit),
2. ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
3. ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$, wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.

Definition:Offene Kugel

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, ${}x\in M$ und ${}\epsilon >0$ eine positive reelle Zahl. Es ist

${}U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,$

die offene und

${}B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,$

die abgeschlossene ${}\epsilon$-Kugel um ${}x$.

Definition:Offene Menge in einem metrischen Raum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen (in $(M,d)$), wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

existiert.

Definition:Abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement ${}M\setminus A$ offen ist.

Definition:Beschränkte Teilmenge

Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ eines metrischen Raumes ${}M$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl ${}b$ mit

$d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T$

gibt.

Definition:Konvergente Folge (metrischer Raum)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x\in M$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Definition:Häufungspunkt

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Ein Punkt ${}x\in M$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder ${}x_{n}$ mit ${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$ gibt.

Definition:Teilfolge

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

$i\longmapsto x_{n_{i}}$

eine Teilfolge der Folge.

Definition:Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen Räumen

Es seien ${}(L,d_{1})$ und ${}(M,d_{2})$ metrische Räume,

$f\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung und ${}x\in L$. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass

${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

gilt. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig, wenn sie stetig in ${}x$ für jedes ${}x\in L$ ist.

Definition:Homöomorphe Räume

Zwei metrische Räume ${}L$ und ${}M$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

gibt, deren Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.

Definition:Polynomiale Funktion

Eine Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$

die man als eine Summe der Form

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$

mit ${}a_{\nu }\in {\mathbb {K} }$ schreiben kann, wobei nur endlich viele ${}a_{\nu }\neq 0$ sind, heißt polynomiale Funktion.

Definition:Berührpunkt

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt ${}a\in M$ heißt Berührpunkt von ${}T$, wenn zu jedem ${}\epsilon >0$ der Durchschnitt

${}T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.$

Definition:Abschluss (Teilmenge)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von ${}T$ heißt der Abschluss von ${}T$. Er wird mit ${}{\overline {T}}$ bezeichnet.

Definition:Grenzwert einer Abbildung

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$. Dann heißt ${}b\in L$ der Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ${}x\in B\left(a,\delta \right)\cap T$ ist ${}f(x)\in B\left(b,\epsilon \right)$. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Definition:Zusammenhängend

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von ${}X$ gibt (nämlich ${}\emptyset$ und ${}X$ selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Definition:Wegzusammenhängend

Ein nichtleerer metrischer Raum ${}X$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten ${}x,y\in X$ eine stetige Abbildung

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$

mit ${}\gamma (a)=x$ und ${}\gamma (b)=y$ gibt.

Definition:Gleichmäßig stetig

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann heißt ${}f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle ${}x,x'\in L$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.

Definition:Lipschitz-stetig

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl ${}c\geq 0$ mit

${}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$

für alle ${}x,y\in L$ gibt.

Definition:Stark kontrahierend

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann heißt ${}f$ stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl ${}c<1$ gibt mit

${}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$

für alle ${}x,y\in L$.

Definition:Fixpunkt

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Ein Element ${}x\in M$ mit ${}f(x)=x$ heißt Fixpunkt der Abbildung.

Definition:Cauchy-Folge (metrischer Raum)

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum ${}M$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \epsilon \,$

gilt.

Definition:Vollständiger metrischer Raum

Ein metrischer Raum ${}M$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${}M$ konvergiert.

Definition:Kompakt ${}(\mathbb {R} ^{m})$

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Definition:Differenzierbare Kurve in einem Punkt

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Dann heißt ${}f$ in ${}t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$

existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von ${}f$ in ${}t$ und wird mit

$f'(t)$

bezeichnet.

Definition:Differenzierbare Kurve

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Dann heißt ${}f$ differenzierbar, wenn ${}f$ in jedem Punkt ${}t\in I$ differenzierbar ist. Die Abbildung

$I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f'(t),$

heißt dann die Ableitung von ${}f$.

Definition:Streckenzug zu einer Unterteilung

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Abbildung. Zu einer Unterteilung

${}a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b\,$

nennt man

${}[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]=[f(t_{0}),f(t_{1}),\ldots ,f(t_{k})]\,$

den zugehörigen Streckenzug.

Definition:Länge eines Streckenzugs

Zu einer Punktfolge

${}P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\,$

nennt man

${}L(P_{0},\ldots ,P_{k})=\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}\,$

die Gesamtlänge des Streckenzugs ${}[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$.

Definition:Rektifizierbare Kurve

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Abbildung. Dann nennt man

${}L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}\,$

die Kurvenlänge von ${}f$. Wenn ${}L(f)$ endlich ist, so heißt die Kurve ${}f$ rektifizierbar.

Definition:Vektorfeld

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und ${}U\subseteq V$ eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

ein Vektorfeld (auf ${}U$).

Definition:Wegintegral (Vektorfeld)

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

$F\colon U\longrightarrow V$

ein stetiges Vektorfeld und

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,$

das Wegintegral zum Vektorfeld ${}F$ längs des Weges ${}\gamma$.

Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Dann nennt man

${}v'=f(t,v)\,$

die gewöhnliche Differentialgleichung (oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem) zum Vektorfeld ${}f$.

Definition:Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}v'=f(t,v)\,$

heißt eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem offenen (Teil)Intervall ${}J\subseteq I$ eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist ${}v(t)\in U$ für alle ${}t\in J$.
2. Die Abbildung ${}v$ ist differenzierbar.
3. Es ist ${}v'(t)=f(t,v(t))$ für alle ${}t\in J$.

Definition:Anfangswertproblem (Differentialgleichungssystem)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ gegeben. Dann nennt man

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung ${}v'=f(t,v)$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})=w$.

Definition:Lösung des Anfangswertproblems (Differentialgleichungssystems)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall ${}J\subseteq I$ mit ${}t_{0}\in J$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}v'=f(t,v)$ ist und wenn zusätzlich

${}v(t_{0})=w\,$

gilt.

Definition:Zentralfeld

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$

eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$

ein Zentralfeld.

Definition:Differentialgleichung der Ordnung n

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

${}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$

eine Differentialgleichung der Ordnung ${}n$.

Definition:Homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$

sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Definition:Inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv+z\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$

sind und wobei

$z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},$

eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung ${}z$ heißt dabei Störabbildung.

Definition:Homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix mit Einträgen ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Definition:Inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv+z\,,$

wobei ${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$ eine Matrix mit Einträgen ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist und

$z\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Definition:Charakteristisches Polynom (Differentialgleichung)

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom

${}\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,$

auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

Definition:Fundamentalsystem

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.

Definition:Richtungsableitung in einem Punkt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Weiter sei ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Dann heißt ${}f$ differenzierbar in ${}P$ in Richtung ${}v$, falls der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}$

existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$. Er wird mit

${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}$

bezeichnet.

Definition:Richtungsableitung

Seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, sei ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Dann heißt ${}f$ differenzierbar in Richtung ${}v$, falls ${}f$ in jedem Punkt ${}P\in G$ in Richtung ${}v$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

$D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},$

die Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v$.

Definition:Partiell differenzierbar in einem Punkt

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ durch

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,$

gegeben. Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G$ ein Punkt. Für fixierte Indizes ${}i$ und ${}j$ betrachten wir die Abbildung

$I\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x_{i}\longmapsto f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

(wobei ${}I$ ein reelles Intervall (bzw. eine offene Kreisscheibe) mit

${}a_{i}\in I$ derart sei, dass ${}\{(a_{1},\ldots ,a_{i-1})\}\times I\times \{(a_{i+1},\ldots ,a_{n})\}\subseteq G$ gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen ${}a_{k}$, ${}k\neq i$, fixiert seien. Ist diese Funktion in ${}a_{i}$ differenzierbar, so heißt ${}f_{j}$ partiell differenzierbar in ${}P$ bezüglich der Koordinate ${}x_{i}$. Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ${}{\mathbb {K} }$ ist) mit

${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$

und nennt sie die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f_{j}$ in ${}P$.

Die Abbildung ${}f$ heißt partiell differenzierbar im Punkt ${}P$, falls für alle ${}i$ und ${}j$ die partiellen Ableitungen in ${}P$ existieren. Die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f$ in ${}P$ wird mit

${}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P):={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}\,$

bezeichnet.

Definition:Partiell differenzierbar

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

gegeben. Dann heißt ${}f$ partiell differenzierbar, wenn ${}f$ in jedem Punkt ${}P\in G$ partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,P\longmapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)},$

die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f$.

Definition:Jacobi-Matrix

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

gegeben, die in ${}P\in G$ partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix

${}\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$

die Jacobi-Matrix zu ${}f$ im Punkt ${}P$.

Definition:Höhere Richtungsableitung

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume,

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Vektoren in ${}V$. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung ${}v_{n}$ existiert. Sie wird mit

$D_{v_{n}}(...(D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f))\ldots )$

bezeichnet.

Definition:n-mal stetig differenzierbar

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}n$ Vektoren aus ${}V$ die höhere Richtungsableitung

$D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$

in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.

Definition:Totale Differenzierbarkeit

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt ${}P\in G$, wenn es eine ${}{\mathbb {K} }$- lineare Abbildung ${}L\colon V\rightarrow W$ mit der Eigenschaft

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

gibt, wobei ${}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in ${}0$ stetige Abbildung mit ${}r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle ${}v\in V$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.

Diese lineare Abbildung ${}L$ heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von ${}\varphi$ an der Stelle ${}P$ und wird mit

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bezeichnet.

Definition:Lokales Maximum und Minimum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\geq f(x')\,$

gilt. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in M$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\leq f(x')\,$

gilt.

Definition:Isolierte lokale Extrema

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)>f(x')\,$

gilt. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in M$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)<f(x')\,$

gilt.

Definition:Linearform

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung

$V\longrightarrow K$

heißt eine Linearform auf ${}V$.

Definition:Dualraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum

${}{V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$

der Dualraum zu ${}V$.

Definition:Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt Bilinearform, wenn für alle ${}v\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

und für alle ${}w\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

${}K$- linear sind.

Definition:Nicht ausgeartete Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine Bilinearform

$V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt nicht ausgeartet, wenn für alle ${}v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

und für alle ${}w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

nicht die Nullabbildung sind.

Definition:Gradient

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P\in G$ differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor ${}w\in V$ mit

${}{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle ${}v\in V$ den Gradienten von ${}f$ in ${}P$. Er wird mit

$\operatorname {Grad} \,f(P)$

bezeichnet.

Definition:Niveaumenge

Zu einer Funktion

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} },$

wobei ${}G$ ein metrischer Raum sei, nennt man zu ${}c\in {\mathbb {K} }$ die Menge

${}N_{c}={\left\{x\in G\mid f(x)=c\right\}}\,$

die Niveaumenge zu ${}f$ zum Wert ${}c$.

Definition:Kritischer Punkt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Dann heißt ${}P\in G$ ein kritischer Punkt von ${}f$ (oder ein stationärer Punkt), wenn

${}\left(Df\right)_{P}=0\,$

ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.

Definition:Hesse-Form

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu ${}P\in G$ heißt die Abbildung

$\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),$

die Hesse-Form im Punkt ${}P\in G$.

Definition:Hesse-Matrix

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis ${}v_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen ${}D_{i}:=D_{v_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Zu ${}P\in G$ heißt dann die Matrix

${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$

die Hesse-Matrix zu ${}f$ im Punkt ${}P$ bezüglich der gegebenen Basis.

Definition:Gramsche Matrix (Bilinearform)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Dann heißt die ${}n\times n$- Matrix

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

Definition:Symmetrische Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Definition:Definitheit einer symmetrischen Bilinearform

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Diese Bilinearform heißt

1. positiv definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
2. negativ definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
3. positiv semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
4. negativ semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
5. indefinit, wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.

Definition:Typ einer symmetrischen Bilinearform

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ

$(p,q)$

besitzt, wobei

${}p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,$

und

${}q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,$

ist.

Definition:Taylor-Polynom

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal stetig-differenzierbare Funktion und ${}P\in G$. Dann heißt

$\sum _{r={\left(r_{1},\ldots ,r_{n}\right)},\,\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}$

das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ zu ${}f$ in ${}P$.

Definition:Diffeomorphismus

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen. Eine Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

heißt ${}C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn ${}\varphi$ bijektiv und ${}k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar ist.

Definition:Regulärer Punkt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen, sei ${}P\in G$ und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine in ${}P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt ${}P$ ein regulärer Punkt von ${}\varphi$, wenn

${}\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{}{\left(V\right)},\dim _{}{\left(W\right)}\right)}}\,$

ist. Andernfalls heißt ${}P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.

Definition:Faser

Zu einer Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

zwischen zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt zu ${}y\in M$ die Menge

${}F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,$

die Faser von ${}\varphi$ über ${}y$.

Definition:Tangentialraum an Faser

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei ${}G\subseteq V$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv sei, und sei ${}Y$ die Faser von ${}\varphi$ durch ${}P$. Dann nennt man

${}T_{P}Y:=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}={\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}\,$

den Tangentialraum an die Faser ${}Y$ in ${}P$.

Definition:Lipschitz-Bedingung für Vektorfelder

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Man sagt, dass das Vektorfeld ${}f$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl ${}L\geq 0$ mit

${}\Vert {f(t,u)-f(t,v)}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-v}\Vert \,$

für alle ${}t\in I$ und ${}u,v\in U$ gibt.

Definition:Lokale Lipschitz-Bedingung für Vektorfelder

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Man sagt, dass das Vektorfeld ${}f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt ${}(t,v)\in I\times U$ eine offene Umgebung

${}(t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times U\,$

derart gibt, dass das auf ${}I'\times U'$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Definition:Punktweise konvergente Abbildungsfolge

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}M$ ein metrischer Raum und

$f_{n}\colon T\longrightarrow M$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

konvergiert.

Definition:Grenzabbildung

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}M$ ein metrischer Raum und

$f_{n}\colon T\longrightarrow M$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen, die punktweise konvergiert. Dann nennt man die Abbildung

$T\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$

die Grenzabbildung der Abbildungsfolge.

Definition:Gleichmäßig konvergente Abbildungsfolge

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}M$ ein metrischer Raum und

$f_{n}\colon T\longrightarrow M$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow M$

derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ gibt mit

$d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.$

Definition:Gradientenfeld

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung

$U\longrightarrow V,\,P\longmapsto \operatorname {Grad} \,h(P),$

das zugehörige Gradientenfeld.