Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei ein reelles Intervall, und sei ein (uneigentlicher) Randpunkt von . Es seien
stetige Funktionen mit
und es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
existiert.
Dann existiert auch das uneigentliche Integral
und es gilt
Es sei ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei
eine stetige fallende Funktion mit für alle .
Dann existiert das uneigentliche Integral
genau dann, wenn die Reihe
konvergiert.
Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.
- Es ist für .
- Es ist .
- Es ist für natürliche Zahlen .
- Es ist .
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .
Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich
für alle .
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ).
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn .
- Es ist .
- Es ist
Der sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei eine Folge in mit
Dann konvergiert die Folge im genau dann, wenn alle Komponentenfolgen in konvergieren.
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge.
Dann ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge , die in konvergiert, bereits in konvergiert.
Es sei
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und und sei ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist stetig im Punkt .
- Für jedes
gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass aus
folgt, dass
ist.
- Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
Es sei
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist stetig in jedem Punkt .
- Für jeden Punkt und jedes gibt es ein mit der Eigenschaft, dass aus folgt, dass ist.
- Für jeden Punkt und jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
- Für jede offene Menge ist auch das Urbild offen.
Es seien metrische Räume und seien
stetige Abbildungen.
Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
stetig.
Es sei ein metrischer Raum und seien Funktionen
(für ) gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung
Dann ist genau dann stetig, wenn alle Komponentenfunktionen stetig sind.
Es sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist stetig.
Eine polynomiale Funktion
ist stetig.
Es sei eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Dann ist genau dann zusammenhängend, wenn ein (nichtleeres) Intervall ist.
Es seien und metrische Räume und sei
eine stetige Abbildung. Es sei eine zusammenhängende Teilmenge.
Dann ist auch das Bild
zusammenhängend.
Es sei ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und
stark kontrahierende Abbildung.
Dann besitzt genau einen Fixpunkt.
Es sei eine Teilmenge.
Dann ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in eine in konvergente Teilfolge besitzt.
Es sei eine kompakte Teilmenge und
eine stetige Abbildung.
Dann ist auch das Bild kompakt.
Es sei eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.
Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen
besitzt eine Nullstelle.
Es sei ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte und auf gegeben.
Dann stimmen die über die zugehörigen Normen und definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge ist genau dann offen bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.
Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und
eine Abbildung. Es sei eine Basis von und es seien
die zugehörigen Komponentenfunktionen von . Es sei .
Dann ist genau dann differenzierbar in , wenn sämtliche Funktionen in differenzierbar sind.
In diesem Fall gilt
Es sei ein euklidischer Vektorraum und
eine differenzierbare Kurve.
Dann gibt es ein mit
Es sei ein kompaktes Intervall und
eine stetig differenzierbare Abbildung.
Dann ist rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt
Es sei ein kompaktes Intervall und es sei
eine stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist die Länge des Graphen von gleich
Es sei ein euklidischer Vektorraum und
eine stetige Abbildung.
Dann gilt
Es sei eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,
ein stetiges Vektorfeld und
eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei
eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei .
Dann gilt
Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum . Es sei
ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion
Es sei und es sei
eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung
Dann ist
eine Lösung des Anfangswertproblems
Es sei ein Intervall, eine offene Menge und
eine Funktion.
Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung
über die Beziehung
äquivalent zum Differentialgleichungssystem
Es sei ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form
mit stetigen Funktionen und und den Anfangsbedingungen
vor.
Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich
löst.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei eine invertierbare Matrix und es sei
Dann ist
genau dann eine Lösung von , wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist.
Es sei
mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann gibt es eine invertierbare Matrix derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form
(mit ) ist.
Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen für gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren .
Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich
wobei der Eigenwert zu ist.
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine Abbildung. Es sei ein Punkt und ein fixierter Vektor.
Dann ist in in Richtung genau dann differenzierbar, wenn die (auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um definierte) Kurve
in differenzierbar ist. In diesem Fall ist
Es sei offen und eine Abbildung, so dass für die zweiten Richtungsableitungen und existieren und stetig sind.
Dann gilt
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist.
Dann ist in differenzierbar mit dem totalen Differential
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, es sei eine offene Teilmenge und eine im Punkt differenzierbare Abbildung.
Dann ist in in jede Richtung differenzierbar, und es gilt
Es sei offen und eine in differenzierbare Abbildung.
Dann ist in partiell differenzierbar, und das totale Differential ist bezüglich der Standardbasis durch die Jacobi-Matrix
gegeben.
Es sei offen und eine Abbildung. Es seien , , die Koordinaten von und ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen von in einer offenen Umgebung von existieren und in stetig sind.
Dann ist in (total) differenzierbar.
Ist die Abbildung bezüglich der Standardbasis des durch die Koordinatenfunktionen gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in durch die Jacobi-Matrix
beschrieben.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, sei offen und sei
eine in differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für jeden Vektor
ist
- Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn linear abhängig zum Gradienten ist.
- Sei . Unter allen Vektoren mit ist die Richtungsableitung in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der Norm des Gradienten.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, offen und
eine in differenzierbare Funktion. Es sei
eine differenzierbare Kurve mit , die ganz innerhalb einer Niveaumenge von verläuft.
Dann steht der Gradient zu senkrecht auf .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und eine offene Teilmenge. Es sei
eine Funktion, die im Punkt ein lokales Extremum besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn in in Richtung
differenzierbar
ist, so ist
- Wenn in
total differenzierbar
ist, so verschwindet das totale Differential, also
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform vom Typ .
Dann ist die Gramsche Matrix von bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit positiven und negativen Einträgen.
Es sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis und es seien die Determinanten der quadratischen Untermatrizen
- Genau dann ist positiv definit, wenn alle positiv sind.
- Genau dann ist negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge an jeder Stelle wechselt.
Es sei offen,
stetig differenzierbare Funktion, ein Punkt und derart, dass ist.
Dann gilt für alle mit die Beziehung
wobei
ist.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Teilmenge und
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ein Punkt, in dem die Hesse-Form positiv (negativ) definit sei.
Dann gibt es eine offene Umgebung , , derart, dass die Hesse-Form in jedem Punkt positiv (negativ) definit ist.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Teilmenge und
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei mit . Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn negativ definit ist, so besitzt ein isoliertes lokales Maximum in .
- Wenn positiv definit ist, so besitzt ein isoliertes lokales Minimum in .
- Wenn indefinit ist, so besitzt in weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, und offene Teilmengen und sei
eine bijektive differenzierbare Abbildung. Sei . Das totale Differential
sei bijektiv und die Umkehrabbildung
sei stetig in .
Dann ist die Umkehrabbildung differenzierbar in und für ihre Ableitung gilt
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen und es sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt derart, dass das totale Differential
bijektiv ist.
Dann gibt es eine offene Menge und eine offene Menge mit und mit derart, dass eine Bijektion
induziert, und dass die Umkehrabbildung
ebenfalls stetig differenzierbar ist.
Es seien und euklidische Vektorräume, sei offen und enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsstrecke. Es sei
eine differenzierbare Abbildung und es gelte
für alle .
Dann gilt für die Abschätzung
Es sei offen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das totale Differential sei surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung
derart, dass ist und eine Bijektion
induziert.
Die Abbildung ist in jedem Punkt regulär und für das totale Differential von gilt
Es sei eine offene Teilmenge und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung, . Es sei die Faser von über . Es sei
eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion besitze im Punkt ein lokales Extremum auf und sei ein regulärer Punkt von .
Dann ist
d.h. die Linearform verschwindet auf dem Tangentialraum an der Faser von durch .
Die Linearform ist eine Linearkombination aus den Linearformen
Es sei eine offene Teilmenge und seien
und
stetig differenzierbare Funktionen. Es sei und die Faser von über . Die eingeschränkte Funktion besitze im Punkt ein lokales Extremum auf und sei ein regulärer Punkt von .
Dann ist ein Vielfaches von , d.h. es gibt ein mit
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt, in dem das totale Differential injektiv sei.
Dann gibt es eine offene Umgebung , , derart, dass injektiv ist.
Es sei ein reelles offenes Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf derart, dass die partiellen Ableitungen nach existieren und stetig sind.
Dann genügt lokal einer Lipschitz-Bedingung.
Es seien und
metrische Räume und es seieine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig gegen die Abbildung konvergiert.
Dann ist stetig.
Es sei eine kompakte Teilmenge, es sei ein euklidischer Vektorraum und es sei der Vektorraum der stetigen Abbildungen von nach .
Dann ist , versehen mit der Maximumsnorm, ein vollständiger metrischer Raum.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein stetiges Vektorfeld auf . Es sei vorgegeben.
Dann ist eine stetige Abbildung
auf einem Intervall mit genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems (insbesondere muss differenzierbar sein)
wenn die Integralgleichung
erfüllt.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge.
Dann gibt es zu jedem ein offenes Intervall mit derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem
existiert.
Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge und
ein stetiges Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
- ist ein Gradientenfeld.
- Für jeden stetig differenzierbaren Weg hängt das Wegintegral nur vom Anfangspunkt und Endpunkt ab.