Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 76/latex

\setcounter{section}{76}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine Abbildung. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{} von $M$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, wenn alle Einschränkungen
\mathl{\varphi_i= \varphi {{|}}_{U_i}}{} differenzierbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {\alpha} {U} {V } {} eine Karte \zusatzklammer {also
\mathl{U \subseteq M}{} und
\mathl{V \subseteq \R^n}{} offen} {} {.} Zeige, dass $\alpha$ ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {f,g} {M} {\R } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} auf $M$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Die Abbildung \maabbeledisp {f \times g} {M} {\R^2 } {x} {(f(x),g(x)) } {,} ist differenzierbar. }{$f+g$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} }{$f \cdot g$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} }{Wenn $f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch
\mathl{f^{-1}}{} differenzierbar. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{S^2 \subseteq \R^3}{} die \definitionsverweis {Sphäre}{}{.} Zeige unter Verwendung der \definitionsverweis {stereographischen Karten}{}{,} dass die Einschränkungen der Koordinaten
\mathl{x,y,z}{} des Raumes auf die Sphäre \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi^*} {C^1(N,\R)} {C^1(M,\R) } {f} {f \circ \varphi } {,} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu
\mathl{m \leq n}{} die Einbettung des Unterraumes
\mathl{\R^m}{} in den $\R^n$, die durch
\mathl{(x_1 , \ldots , x_m) \mapsto (x_1 , \ldots , x_m,0 , \ldots , 0)}{} gegeben ist, \definitionsverweis {beliebig oft differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche
\mathl{S^1 \times {]0,1[}}{} zu
\mathl{S^1 \times \R}{,} zur punktierten Ebene
\mathl{\R^2 \setminus \{(0,0)\}}{} und zu
\mathl{S^2 \setminus \{N,S\}}{} \definitionsverweis {diffeomorph}{}{} ist.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Eine Funktion \maabbdisp {f} {{\mathbb K}^n} { {\mathbb K} } {} heißt \definitionswort {homogen vom Grad}{} $d$, wenn für jeden Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^n}{} und jedes
\mathl{\lambda \in {\mathbb K}}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(\lambda P) }
{ =} { \lambda^d f(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {homogene Funktion}{}{,} die in der \definitionsverweis {Faser}{}{} $F$ über
\mathl{a \neq 0}{} \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Zeige, dass jede Faser zu
\mathl{b \neq 0}{} eine zu $F$ \definitionsverweis {diffeomorphe}{}{} \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{]a,b[}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {]a,b[} {\R_{+} } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Es sei $M$ die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre $C^\infty$-\definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {zweidimensionalen}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass \mathkor {} {M} {und} {M \setminus \{P\}} {} zueinander \definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Antipodenabbildung}{}{} \maabbeledisp {} {S^n} {S^n } {(x_1 , \ldots , x_{n+1})} {(-x_1 , \ldots , -x_{n+1}) } {,} ein \definitionsverweis {fixpunktfreier}{}{} \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist, der zu sich selbst invers ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ der Dimension
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unendlich viele \definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {M } {} besitzt.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben sollen erläutern, warum man Mannigfaltigkeiten mit offenen Überdeckungen ansetzt.

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$. Man sagt, dass die Folge gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionswort {konvergiert}{,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jeder \definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $x$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0 }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Folgenglieder $x_n$ zu $U$ gehören.

In diesem Fall heißt $x$ der \definitionswort {Grenzwert}{} oder der \definitionswort {Limes}{} der Folge. Dafür schreibt man auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n }
{ =} { x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie \definitionswort {konvergiert}{} \zusatzklammer {ohne Bezug auf einen Grenzwert} {} {,} andernfalls, dass sie \definitionswort {divergiert}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $M$. Zeige, dass die Folge genau dann \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn es ein \definitionsverweis {Kartengebiet}{}{} von $M$ gibt, das fast alle Glieder der Folge enthält und so, dass die entsprechende Bildfolge im Kartenbild konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {\alpha_i} {U_i} {V_i } {} eine Familie von \definitionsverweis {Karten}{}{} mit den \definitionsverweis {Übergangsabbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi_{ij} = \alpha_j \circ (\alpha_i)^{-1}} {V_i \cap \alpha_i(U_i \cap U_j) } { V_j \cap \alpha_j(U_i \cap U_j) } {.} Zeige, dass man aus der Familie der
\mathbed {V_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} den Teilmengen
\mathl{V_{ij} \subseteq V_i}{} und den Übergangsabbildungen \maabbdisp {\varphi_{ij}} {V_{ij}} { V_{ji} } {} die Mannigfaltigkeit $M$ rekonstruieren kann.

a) Betrachte auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N }
{ \defeq} { \biguplus_{i \in I} V_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} unter der zwei Punkte
\mathl{P\in V_i}{} und
\mathl{Q \in V_j}{} gleich sind, wenn sie unter
\mathl{\varphi_{ij}}{} ineinander abgebildet werden.

b) Versehe die Quotientenmenge
\mathl{N/ \sim}{} mit einer geeigneten Topologie.

c) Definiere auf
\mathl{N/ \sim}{} Karten.

d) Zeige, dass \mathkor {} {M} {und} {N/ \sim} {} \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}

Das in der vorstehenden Aufgabe beschriebene Konstruktionsverfahren für eine Mannigfaltigkeit funktioniert für eine Familie von offenen Teilmengen im $\R^n$ mit Übergangsabbildungen, die die Kozykelbedingung aus Aufgabe 75.15 erfüllen. Allerdings ist der dabei entstehende topologische Raum nicht ohne weiteres ein Hausdorff-Raum. Man spricht vom \stichwort {offenen Verkleben} {} von Räumen.

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_1 }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_2 }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zusammen mit der Verklebungsabbildung \maabbeledisp {\varphi} {G_1 \setminus \{0\} } {G_2 \setminus \{0\} } {x} { x^{-1} } {.} Es sei $M$ der entstehende topologische Raum gemäß der in Aufgabe 76.13 beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass $M$ \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zur $1$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_1 }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_2 }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zusammen mit der Verklebungsabbildung \maabbdisp {\operatorname{Id}} {G_1 \setminus \{0\} } {G_2 \setminus \{0\} } {.} Es sei $M$ der entstehende topologische Raum gemäß der in Aufgabe 76.13 beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass $M$ keine \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

In der folgenden Aufgabe interpretiere man ${\mathbb C}$ als $\R^2$.


\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}^2} { {\mathbb C} } {(z,w)} { zw } {.} Für welche Punkte
\mathl{u \in {\mathbb C}}{} ist die Faser über $u$ eine Mannigfaltigkeit? Man gebe jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es seien zwei Punkte \mathkor {} {P} {und} {Q} {} auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} gegeben. Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} der Sphäre in sich gibt, der $P$ in $Q$ überführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4 (1+1+2)}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Zu jeder offenen Teilmenge
\mathl{U \subseteq M}{} betrachten wir die Menge
\mathl{C^1(U,\R)}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{} auf $U$. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass zu
\mathl{V \subseteq U}{} offen und
\mathl{f \in C^1(U,\R)}{} auch die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} $f {{|}}_V$ zu
\mathl{C^1(V,\R)}{} gehört. }{Es sei
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{.} Zeige, dass
\mathl{f=0}{} genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen
\mathl{f {{|}}_{U_i} =0}{} sind. }{Es sei eine Familie
\mathl{f_i \in C^1(U_i,\R)}{} von Funktionen gegeben, die die \anfuehrung{Verträglichkeitsbedingung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_i {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ =} { f_j {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{} gibt mit
\mathl{f {{|}}_{U_i} =f_i}{} für alle $i$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,} die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} \maabbdisp {f,g} {M} {\R } {} gibt mit
\mathl{f,g \neq 0}{,} aber
\mathl{fg=0}{.}

}
{} {}