Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
über
\mathl{[-3,+4]}{} zur
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ =} { \begin{cases} 5 , \text{ falls } -3 \leq t \leq -2 \, , \\ -3 , \text{ falls } -2 < t \leq -1 \, , \\ \frac{3}{7} , \text{ falls } -1 < t < -\frac{1}{2} \, , \\ 13 , \text{ falls } t = - \frac{1}{2} \, , \\ \pi , \text{ falls } - \frac{1}{2} < t < e \, , \\ 0 , \text{ falls } e \leq t \leq 3 \, , \\ 1 , \text{ falls } 3 < t \leq 4 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Unterteile das Intervall
\mathl{[-4,5]}{} in sechs gleichgroße Teilintervalle.
b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf
\mathl{[-4,5]}{,} die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte
\mathl{2}{} und $-1$ annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabb {f} {[a,b]} {\R } {} an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Treppenfunktionen}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\aufzaehlungvier{
\mathl{f+g}{,}
}{
\mathl{f \cdot g}{,}
}{
\mathl{{\max { \left( f , g \right) } }}{,}
}{
\mathl{{\min { \left( f , g \right) } }}{,}
}
Treppenfunktionen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} { [c,d]
} {}
eine
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
und
\maabbdisp {g} {[c,d]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} ebenfalls eine Treppenfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion \maabbdisp {f} {[0,1]} {\R } {,} die nicht \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ 1 } t \, d t} { }
explizit über
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ 2 } t^3 \, d t} { }
explizit über
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ -2 }^{ 7 } -t^3+3t^2-2t+5 \, d t} { }
explizit über
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige
\zusatzklammer {ohne Stammfunktionen zu verwenden} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 e^x dx
}
{ =} { e-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{}
auf $[a,b]$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man zeige: Ist $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{a}^{b} f(x)dx
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede stetige Funktion
\maabb {g} {[a,b]} {\R
} {.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R
} {t} {1-t^2
} {.}
Für welches
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt die zugehörige zweistufige
\zusatzklammer {maximale} {} {}
\definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{} zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {} {[1,2]} { \R
} {t} {g(t) = { \frac{ 1 }{ t } }
} {.}
\aufzaehlungzwei {Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Abhängigkeit von $x$.
} {
Bestimme dasjenige $x$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {,}
für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?
}
}
{} {}
Bei den beiden vorstehenden Aufgabe kann man sich fragen, wie bei einer feineren Unterteilung, beispielsweise mit zwei Zwischenpunkten, das optimale untere Treppenintegral aussieht. Dies wird im zweiten Semester beantwortet, siehe
Aufgabe 50.22.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für die Funktion \maabbeledisp {} {]0,1]} {\R } {x} { \frac{1}{x} } {,} weder das \definitionsverweis {Unterintegral}{}{} noch das \definitionsverweis {Oberintegral}{}{} existiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $I =[a,b]$ ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Es gebe eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Treppenfunktionen}{}{}
\mathbed {{ \left( s_n \right) }_{ n \in \N }} {mit}
{s_n \leq f} {}
{} {} {} {}
und eine Folge von Treppenfunktionen
\mathbed {{ \left( t_n \right) }_{ n \in \N }} {mit}
{t_n \geq f} {}
{} {} {} {.}
Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale
\definitionsverweis {konvergieren}{}{}
und dass ihre
\definitionsverweis {Grenzwerte}{}{}
übereinstimmen. Zeige, dass dann $f$
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{}
ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } s_n ( x) \, d x
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } f ( x) \, d x
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } t_n ( x) \, d x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{} und \maabb {f} {I} { \R } {} eine nach unten beschränkte \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass das \definitionsverweis {Supremum}{}{} über alle \definitionsverweis {Treppenintegrale}{}{} zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen \zusatzklammer {also das \definitionsverweis {Unterintegral}{}{}} {} {} existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine monotone \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei
\maabbdisp {s_n} {[a,b] } {\R
} {}
diejenige untere Treppenfunktion zu $f$ zur äquidistanten Unterteilung in $n$ gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall
\mathdisp {I_j=[a+ { \frac{ (j-1)(b-a) }{ n } } ,a+ { \frac{ j(b-a) }{ n } } [, \, j=1 , \ldots , n} { , }
\zusatzklammer {für
\mathl{j= n}{} sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen} {} {}
das Infimum von
\mathbed {f(x)} {}
{x \in I_j} {}
{} {} {} {,}
annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu $s_n$ gegen
\mathl{\int_a^b f(x)dx}{} konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I =[a,b]$ ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die Funktion $f$ ist
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{.}
}{Es gibt eine Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{a_0
}
{ < }{a_1
}
{ < }{ \cdots
}
{ < }{a_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ = }{ b
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
{}{}
}{}{}
derart, dass die einzelnen Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \defeq }{ f |_{[a_{i-1},a_i]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Riemann-integrierbar sind.
}{Für jede Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{a_0
}
{ < }{a_1
}
{ < }{ \cdots
}
{ < }{a_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ = }{ b
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
{}{}
}{}{}
sind die Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \defeq }{ f |_{[a_{i-1},a_i]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Riemann-integrierbar.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{I =[a,b] \subseteq \R}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und es seien
\maabb {f,g} {I} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Ist
\mathl{m \leq f(x) \leq M}{} für alle
\mathl{x \in I}{,} so ist
\mathl{m(b-a) \leq \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t \leq M(b-a)}{.}
}{Ist
\mathl{f(x) \leq g(x)}{} für alle
\mathl{x \in I}{,} so ist
\mathl{\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t \leq \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t}{.}
}{Es ist
\mathl{\int_{ a }^{ b } f(t)+g(t) \, d t = \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t + \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t}{.}
}{Für
\mathl{c \in \R}{} ist
\mathl{\int_{ a }^{ b } (cf)(t) \, d t = c \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und es seien
\maabb {f,g} {I} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Zeige, dass auch ${\max { \left( f , g \right) } }$ Riemann-integrierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und
\maabb {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Zeige, dass
\mathdisp {\betrag { \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t } \leq \int_{ a }^{ b } \betrag { f(t) } \, d t} { }
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } t^2 \, d t} { }
in Abhängigkeit von
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
explizit über
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {[a,b]} {[c,d]
} {}
und einer
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {g} {[c,d]} {\R
} {}
derart, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} keine Treppenfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass für die Funktion \maabbeledisp {} {]0,1]} {\R } {x} { \frac{1}{ \sqrt{x} } } {,} das \definitionsverweis {Unterintegral}{}{} existiert, aber nicht das \definitionsverweis {Oberintegral}{}{.}
}
{} {Tipp: Verwende
Aufgabe 9.5.}
\inputaufgabe
{8}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ 2 } \frac{1}{t^2} \, d t} { }
explizit über
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R
} {t} {f(t)
} {,}
mit
\mathdisp {f(t)= \begin{cases} 0 \text{ für } t=0, \\ \sin \frac{1}{t} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases}} { }
Zeige, dass $f$
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{}
ist, dass es aber keine
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{} $s$ mit der Eigenschaft gibt, dass
\mathl{\betrag { s(t)-f(t) } \leq { \frac{ 1 }{ 2 } }}{} für alle
\mathl{t \in [0,1]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und es seien
\maabb {f,g} {I} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Zeige, dass auch $fg$ Riemann-integrierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {stetige}{}{,}
\definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {[0,1]} {\R
} {}
derart, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft gibt, dass das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
zur maximalen
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{}
zur äquidistanten Unterteilung in $n$ Teilintervalle größer ist als dasjenige zu
\mathl{n+1}{} Teilintervallen
\zusatzklammer {d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation} {} {.}
}
{} {}