Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 23
- Übungsaufgaben
a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.
b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.
Es sei
eine Treppenfunktion und
eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls eine Treppenfunktion ist.
Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)
Es sei eine Riemann-integrierbare Funktion auf mit für alle . Man zeige: Ist stetig in einem Punkt mit , dann gilt
Wir betrachten die Funktion
Für welches besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Wir betrachten die Funktion
- Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung in Abhängigkeit von .
- Bestimme dasjenige zwischen und , für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?
Bei den beiden vorstehenden Aufgabe kann man sich fragen, wie bei einer feineren Unterteilung, beispielsweise mit zwei Zwischenpunkten, das optimale untere Treppenintegral aussieht. Dies wird im zweiten Semester beantwortet, siehe Aufgabe 50.22.
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen mit und eine Folge von Treppenfunktionen mit . Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann Riemann-integrierbar ist und dass
gilt.
Es sei ein beschränktes Intervall und eine nach unten beschränkte stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das Supremum über alle Treppenintegrale zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen (also das Unterintegral) existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine monotone Funktion. Zeige, dass Riemann-integrierbar ist.
Es sei
eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu sei
diejenige untere Treppenfunktion zu zur äquidistanten Unterteilung in gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall
(für sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von , , annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu gegen konvergiert.
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Die Funktion ist Riemann-integrierbar.
- Es gibt eine Unterteilung derart, dass die einzelnen Einschränkungen Riemann-integrierbar sind.
- Für jede Unterteilung sind die Einschränkungen Riemann-integrierbar.
Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.
- Ist für alle , so ist .
- Ist für alle , so ist .
- Es ist .
- Für ist .
Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme das bestimmte Integral
in Abhängigkeit von und explizit über obere und untere Treppenfunktionen.
Aufgabe (5 Punkte)
Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
und einer Treppenfunktion
derart, dass die Hintereinanderschaltung keine Treppenfunktion ist.
Aufgabe (6 Punkte)
Tipp: Verwende Aufgabe 9.5.
Aufgabe (8 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
mit
Zeige, dass Riemann-integrierbar ist, dass es aber keine Treppenfunktion mit der Eigenschaft gibt, dass für alle ist.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.
Aufgabe (6 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion
derart, dass es ein mit der Eigenschaft gibt, dass das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion zur äquidistanten Unterteilung in Teilintervalle größer ist als dasjenige zu Teilintervallen (d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation).
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