Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 24
- Übungsaufgaben
Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?
Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen
und ein kompaktes Intervall aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).
Es sei , , eine stetige Funktion und eine Stammfunktion zu . Zeige, dass eine Stammfunktion zu ist.
Es sei , , eine stetige Funktion und eine Stammfunktion zu . Zeige, dass eine Stammfunktion zu ist.
Es sei , , eine stetige Funktion und eine Stammfunktion zu . Zeige, dass eine Stammfunktion zu ist.
Berechne das bestimmte Integral
Ein Körper werde zum Zeitpunkt losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit . Nach welcher Zeit hat der Körper Meter zurückgelegt?
Berechne das bestimmte Integral
Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Sinusfunktion zwischen und .
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu und eingeschlossen wird.
Es sei die minimale positive Zahl mit . Berechne den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch den Graphen des Kosinus und den Graphen des Sinus oberhalb von eingeschlossen wird.
Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel für . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von und und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von und der Wurzel von .
Bestimme den Durchschnittswert des Sinus für .
Wir betrachten die Exponentialfunktion auf einem Intervall der Form .
- Bestimme den Mittelwert (Durchschnittswert) der Exponentialfunktion auf .
- Bestimme den Punkt , in dem die Exponentialfunktion den Durchschnittswert annimmt.
- Was fällt auf?
Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch
beschrieben. Dabei ist die Zeit in Stunden und ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?
Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall (in Stunden) durch die Funktion
beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.
Zeige, dass für jedes die Abschätzung
gilt. Tipp: Betrachte die Funktion auf dem Intervall .
Es sei eine differenzierbare Funktion und es sei eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion
differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.
Es sei eine stetige Funktion. Betrachte die durch
definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Es sei eine konvergente Reihe mit für alle und sei eine Riemann-integrierbare Funktion.
Zeige, dass dann die Reiheabsolut konvergent ist.
Man zeige, dass die Gleichung
eine einzige Lösung besitzt.
Betrachte die Funktionenfolge
Berechne die Grenzfunktion dieser Funktionenfolge, deren Integral (wenn es existiert), die Integrale und deren Grenzwert für .
Man gebe ein Beispiel für eine Folge von stetigen Funktionen
die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert, wo aber
für alle ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne das bestimmte Integral
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Aufgabe (4 Punkte)
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der beiden Funktionen und mit
eingeschlossen wird.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
mit
Zeige, unter Bezug auf die Funktion , dass eine Stammfunktion besitzt.
Aufgabe (5 Punkte)
(Verwende Eigenschaften der Wurzelfunktion.)
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