Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 25
- Übungsaufgaben
Zeige durch Induktion nach unter Verwendung der partiellen Integration
Wir betrachten die Polynome .
- Zeige
- Man folgere
In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.
Es sei . Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Es sei ein reelles Intervall und es sei
eine stetige Funktion mit der Stammfunktion . Es sei eine Stammfunktion von und es seien . Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Es sei . Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
unter Verwendung der Stammfunktion von und Satz 25.5.
Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Berechne das bestimmte Integral
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Es sei
eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion. Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral
die Substitution durchführt und anschließend partiell integriert.
Begründe den Zusammenhang
für allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.
Berechne das bestimmte Integral
Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
Bestimme die Flächeninhalte der beiden rechts skizzierten, durch die blauen Kurven umrandeten Gebiete.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein reelles Intervall und es sei
eine stetige Funktion mit der Stammfunktion . Es sei eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Es seien . Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
Aufgabe (5 (2+3) Punkte)
Es sei
eine streng wachsende, bijektive Funktion und
eine Treppenfunktion.
a) Zeige, dass ebenfalls eine Treppenfunktion ist.
b) Es sei nun zusätzlich stetig differenzierbar. Bestätige die Gleichung
direkt, ohne Bezug auf die Substitutionsregel.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei eine stetige Funktion. Betrachte die Funktion
für . Zeige, dass eine zweite Ableitung besitzt, und dass die folgende Beziehung gilt:
(Mit einer geeigneten Substitution kann man erreichen, dass die Variable nicht mehr als Argument der Funktion auftritt. Danach geht es darum, geeignete trigonometrische Formeln anzuwenden.)
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei
eine differenzierbare Funktion mit für alle . Für welche Punkte besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein lokales Extremum? Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?
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