Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X(X-1)}}$

über einem Körper ${}K$.

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {3X^{5}+4X^{4}-2X^{2}+5X-6}{X^{3}}}.$

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten in der Partialbruchzerlegung in Beispiel 26.6 durch Einsetzen von einigen Zahlen für ${}X$.

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{2}(X^{2}+1)}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{3}-1}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{3}(X-1)^{3}}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {X^{3}+4X^{2}+7}{X^{2}-X-2}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X(X-1)(X-2)(X-3)}}.$

Aufgabe *

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{x^{4}+1}}$

unter Verwendung der Zerlegung

${}x^{4}+1={\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right)}\,.$

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)={\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}\,.$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von ${}f(x)$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von ${}f(x)$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}.$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von ${}f$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von ${}f$ für ${}x>1$.

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion von

${\frac {5x^{3}+4x-3}{x^{2}+1}}$

mittels Partialbruchzerlegung.

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion von

${\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}$

für ${}x>2$.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{x^{2}+5}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{x^{2}-5}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{2x^{2}+x-1}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{1+x^{4}}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {7x^{6}-18x^{5}+8x^{3}-9x^{2}+2}{x^{7}-3x^{6}+2x^{4}-3x^{3}+2x-5}}.$

Aufgabe

Beweise die Eindeutigkeit der reellen Partialbruchzerlegung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass im Funktionenkörper ${}K(X)$ die Gleichheit

${}{\frac {X^{r}-1}{X^{r}}}={\frac {X-1}{X}}+{\frac {X-1}{X^{2}}}+\cdots +{\frac {X-1}{X^{r-1}}}+{\frac {X-1}{X^{r}}}\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Schreibe die rationale Funktion

${\frac {2x^{3}-4x^{2}+5x-1}{4x+3}}$

in der neuen Variablen ${}u=4x+3$. Berechne die Stammfunktion über die reelle Partialbruchzerlegung und über die Substitution ${}u=4x+3$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{4}-1}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {X}{(X+2)(X+1)(X-1)(X-2)}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {X^{7}+X^{4}-5X+3}{X^{8}+X^{6}-X^{4}-X^{2}}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {3x-5}{(x^{2}+2x+7)^{2}}}.$