Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt

Reelle Partialbruchzerlegung

Es seien ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$, ${}Q\neq 0$, Polynome und es sei

$Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}Q_{1}^{t_{1}}\cdots Q_{u}^{t_{u}}$

mit verschiedenen ${}a_{i}\in \mathbb {R}$ und verschiedenen quadratischen Polynomen ${}Q_{k}$ ohne reelle Nullstellen.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in \mathbb {R} [X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in \mathbb {R}$, ${}1\leq i\leq s$, ${}1\leq j\leq r_{i}$, und eindeutig bestimmte lineare Polynome ${}L_{k\ell }=d_{k\ell }X+e_{k\ell }$, ${}1\leq k\leq u$, ${}1\leq \ell \leq t_{k}$, mit

${}{\begin{aligned}{\frac {P}{Q}}&=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\\&\,\,\,+{\frac {L_{11}}{Q_{1}}}+{\frac {L_{12}}{Q_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{1t_{1}}}{Q_{1}^{t_{1}}}}+\cdots +{\frac {L_{u1}}{Q_{u}}}+{\frac {L_{u2}}{Q_{u}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{ut_{u}}}{Q_{u}^{t_{u}}}}.\end{aligned}}$

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen