Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von der komplexen Partialbruchzerlegung von ${}P/Q$ aus. Die reell quadratischen Polynome ${}Q_{k}$ zerfallen komplex als

${}Q_{k}=(X-z)(X-{\overline {z}})\,$

mit ${}z=z_{k}\in {\mathbb {C} }$. In der komplexen Partialbruchzerlegung betrachten wir die Teilsumme

${\frac {c}{(X-z)^{\ell }}}+{\frac {d}{(X-{\overline {z}})^{\ell }}}$

mit ${}c,d\in {\mathbb {C} }$. Wenn man auf die gesamte komplexe Partialbruchzerlegung die komplexe Konjugation anwendet, so bleibt der reelle Quotient ${}{\frac {P}{Q}}$ unverändert, sodass auch die Partialbruchzerlegung in sich überführt wird. Daher müssen ${}c$ und ${}d$ zueinander konjugiert sein und die obige Teilsumme ist daher

${}{\frac {c}{(X-z)^{\ell }}}+{\frac {\overline {c}}{(X-{\overline {z}})^{\ell }}}={\frac {c(X-{\overline {z}})^{\ell }+{\overline {c}}(X-z)^{\ell }}{(X-z)^{\ell }(X-{\overline {z}})^{\ell }}}={\frac {S}{Q_{k}^{\ell }}}\,,$

wobei das Zählerpolynom ${}S$ reell ist, da es invariant unter der komplexen Konjugation ist. Dieses Zählerpolynom ist im Allgemeinen nicht linear, wir werden aber zeigen, dass man weiter auf lineare Zählerpolynome reduzieren kann. Der Grad von ${}S$ ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms. Durch sukzessive Division mit Rest von ${}S$ durch ${}Q_{k}$ erhält man

${}S=L_{0}+L_{1}Q_{k}+L_{2}Q_{k}^{2}+\cdots +L_{{\ell }-1}Q_{k}^{{\ell }-1}\,$

mit linearen (reellen) Polynomen ${}L_{i}$. Daher ist

${}{\frac {S}{Q_{k}^{\ell }}}={\frac {L_{0}+L_{1}Q_{k}+L_{2}Q_{k}^{2}+\cdots +L_{\ell -1}Q_{k}^{{\ell }-1}}{Q_{k}^{\ell }}}={\frac {L_{0}}{Q_{k}^{\ell }}}+{\frac {L_{1}}{Q_{k}^{{\ell }-1}}}+\cdots +{\frac {L_{{\ell }-2}}{Q_{k}^{2}}}+{\frac {L_{{\ell }-1}}{Q_{k}}}\,.$

Wenn man alles aufsummiert, so erhält man insgesamt die Existenz der reellen Partialbruchzerlegung. Für die Eindeutigkeit siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage