Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 22
- Übungsaufgaben
Bestimme das Polynom
in der neuen Variablen (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich
a) direkt durch Einsetzen,
b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt .
Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion im Entwicklungspunkt der Ordnung .
Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion
im Entwicklungspunkt .
Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion im Entwicklungspunkt .
Wir betrachten die Funktion
im Reellen.
a) Bestimme den Definitionsbereich von .
b) Skizziere für zwischen und .
c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von .
d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung von im Punkt .
Es sei eine im Punkt -fach differenzierbare Funktion. Zeige, dass das -te Taylor-Polynom zu im Punkt , geschrieben in der verschobenen Variablen , gleich dem -ten Taylor-Polynom der Funktion im Nullpunkt (geschrieben in der Variablen ) ist.
Es sei eine Funktion. Vergleiche die polynomiale Interpolation zu gegebenen Punkten und die Taylor-Polynome vom Grad zu einem Punkt.
Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion das -te Taylor-Polynom von im Entwicklungspunkt nicht aus dem -ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt bestimmen kann.
Es seien Polynome -ten Grades und es seien Punkte und natürliche Zahlen mit
Die Ableitungen von und in den Punkten sollen bis einschließlich zur -ten Ableitung übereinstimmen. Zeige .
Man mache sich zuerst die Aussage bei und und bei und für alle klar.
Es sei . Bestimme ein Polynom vom Grad , das in den beiden Punkten und die gleichen linearen Approximationen wie besitzt.
- Zeige, dass man mit Hilfe von Beispiel 22.5 und drei Summanden (also ) auf dem Intervall eine polynomiale Abschätzung für den Kosinus mit einem Fehler enthält.
- Zeige mit der Abschätzung aus (1), dass
gilt.
- Kann man mit der Abschätzung aus (1) auch zeigem, dass
ist?
Bestimme die erste Nachkommastelle von mit Hilfe von Beispiel 22.5.
Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt .
Bestimme den Wendepunkt der Funktion
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien und . Zeige
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung der Funktion
im Entwicklungspunkt .
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme das Polynom
in der neuen Variablen (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich
a) direkt durch Einsetzen,
b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt .
Aufgabe (4 Punkte)
Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion
hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die ersten drei Nachkommastellen von mit Hilfe von Beispiel 22.5.
(Ganzzahlige Rechnungen gerne mit Taschenrechner ausführen.)
Aufgabe (6 Punkte)
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