Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{e^{2t}+e^{t}+1 }{e^{2t}-1}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{5}{e^{3t}-1}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{1}{9a^x+4a^{-x} }} { }
mit $a>1$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sinh t } }} { }
für
\mathl{t>0}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \cosh x + \sinh^{ 2 } x } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ \ln x }{ x } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Bestimme die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 4s }{ s^4-2s^2+1 } }} { . }
b) Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 4s }{ s^4-2s^2+1 } }} { . }
c) Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sinh^{ 2 } t } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{- { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ < }{t
}
{ < }{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}} {} {}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \cos t } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sin^{ 3 } x } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\zusatzklammer {
\mathl{0 <t < { \frac{ \pi }{ 2 } }}{}} {} {}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sin t + \cos t } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{2-\cos{x} }{2+\cos{x} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\cos{(2x)} \sin^2{(x)}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die in
Lemma 27.5
verwendeten Substitutionen
\mathkor {} {x= \cos t = { \frac{ 1-s^2 }{ 1+s^2 } }} {und} {y= \sin t = { \frac{ 2s }{ 1+s^2 } }} {}
die Kreisgleichung
\mathl{x^2+y^2=1}{} erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\sqrt{ 3x^2 + 4x -2 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+2} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle ein Abbildungsdiagramm, das aufzeigt, wie sich eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} in den \definitionsverweis {trigonometrischen Funktionen}{}{} als eine \definitionsverweis {zusammengesetze Funktion}{}{} ergibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ r }{ \sqrt{1-r^2} } } dr} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\sqrt{ \frac{u+1}{u } }} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{e^{2t}+e^{3t} }{e^{4t}-1}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ \ln 2x }{ x \ln 4x }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{1}{\sin{(3x)} \cos{(x)} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{4x^2+2x+3}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x \sqrt{-x^2+5x-6 } }}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ ( \sqrt{ x^2 + x+1 })^2 +4x^3 \sqrt{ x^2 + x+1 } -3x }{ x^2 \sqrt{ x^2 + x+1 } } }} { . }
}
{} {}