Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 31/latex

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\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {wachsende Funktion}{}{} und
\mathl{b \in \R}{.} Zeige, dass die Folge
\mathbed {f(n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} genau dann gegen $b$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow + \infty } \, f(x) =b} { }
gilt, wenn also die Funktion für
\mathl{x \rightarrow +\infty}{} den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $b$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{[a,+ \infty [}{} ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und \maabb {f,g} {[a, +\infty [} { \R } {} seien \definitionsverweis {Funktionen}{}{} derart, dass die \definitionsverweis {Grenzwerte}{}{} \mathkor {} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x)} {und} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x)} {} existieren. Zeige, dass folgende Beziehungen gelten. \aufzaehlungdrei{Die Summe
\mathl{f+g}{} besitzt einen Grenzwert für
\mathl{x \rightarrow +\infty}{,} und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, (f(x)+g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x) + \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x)} { . }
}{Das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} besitzt einen Grenzwert für
\mathl{x \rightarrow +\infty}{,} und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, (f(x) \cdot g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x) \cdot \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x)} { . }
}{Es sei
\mathl{g(x) \neq 0}{} für alle
\mathl{x \in [a, + \infty [}{} und
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x) \neq 0}{.} Dann besitzt der Quotient
\mathl{f/g}{} einen Grenzwert für $x \rightarrow +\infty$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, \frac{f(x)}{ g(x)} = \frac{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x) }{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x) }} { . }
}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein Intervall,
\mathl{r}{} ein \definitionsverweis {(uneigentlicher) Randpunkt}{}{} von $I$ und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass die Existenz des \definitionsverweis {uneigentlichen Integrals}{}{}
\mathdisp {\int_{ a }^{ r } f ( t) \, d t} { }
nicht vom gewählten Startpunkt
\mathl{a \in I}{} abhängt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I={]r,s[}$ ein \definitionsverweis {beschränktes offenes Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die sich auf
\mathl{[r,s]}{} \definitionsverweis {stetig fortsetzen}{}{} lässt. Zeige, dass dann das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ r }^{ s } f ( t) \, d t} { }
existiert und mit dem \definitionsverweis {bestimmten Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ r }^{ s } f ( t) \, d t} { }
übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise Rechenregeln für \definitionsverweis {uneigentliche Integrale}{}{} \zusatzklammer {analog zu Lemma 23.15} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ t(t-1) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R \setminus \{0,1 \} }
{ =} { [- \infty, 0[ \, \cup \, ]0,1[ \, \cup \, ]1, + \infty] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert ist. Entscheide für jedes Teilintervall und jeden \zusatzklammer {uneigentlichen} {} {} Randpunkt, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{} existiert oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ \infty } { \frac{ x^2-3x+5 }{ x^4+2x^3+5x+8 } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } e^{-t} \, d t} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{- \infty}^{\infty} { \frac{ 1 }{ 1+t^2 } } dt }
{ =} { \pi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ -1 }^{ 1 } { \frac{ 1 }{ \sqrt{1-t^2} } } \, d t} { }
existiert und berechne es im Falle der Existenz.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ 1 }{ (x+1) \sqrt{x} } } \, d x} { }
existiert und berechne es im Falle der Existenz.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Sei \maabbdisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0} } {} eine \definitionsverweis {monoton fallende}{}{} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } f ( t) \, d t} { }
existiert. Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow \infty } \, f(t) =0} { }
ist.

b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {{]0,1]}} {[0, \infty [ } {} eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion \maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]} } {.} Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } \betrag { { \frac{ \sin x }{ x } } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ 1 }{ (\sqrt{1+t^2})^3 } } \, d t} { . }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ \infty } { \frac{ x^3-3x+5 }{ x^4+2x^3+5x+8 } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{8}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ \sin x }{ x } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)}




\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {unbeschränkte}{}{,} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0} } {} derart, dass das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{} $\int_{ 0 }^{ \infty } f ( t) \, d t$ existiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein \definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {]a,b[} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {fallende Folge}{}{} in $I$ mit dem \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $a$ und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {wachsende Folge}{}{} in $I$ mit dem \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $b$. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass die Folge
\mathdisp {w_n = \int_{ x_n }^{ y_n } f ( t) \, d t} { }
gegen das uneigentliche Integral konvergiert.

}
{} {}