Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 39/latex
\setcounter{section}{39}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Von einer Bewegung
\maabbdisp {\varphi} {\R_+} {\R^3
} {}
sei der Geschwindigkeitsverlauf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi'(t)
}
{ =} { \left( { \frac{ t^2-1 }{ t } } , \, t \sin \left( t^2 \right) , \, t e^t \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bekannt. Ferner sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(1)
}
{ =} { (1,2,3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bekannt. Bestimme $\varphi(t)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Integral zu einer \definitionsverweis {stetigen Kurve}{}{} \maabbdisp {} {[a,b]} {V } {} in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ unabhängig von der gewählten Basis ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise den \stichwort {Hauptsatz der Infinitesimalrechnung} {} für \definitionsverweis {stetige Kurven}{}{} \maabbdisp {g} {I} {V } {,} wobei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^3
} {t} { \left( t^2 , \, t^5-1 , \, t+ \sin t \right)
} {.}
Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 1 \end{pmatrix}} { . }
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über
\mathl{[a,b]}{,} und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die wir als ein \zusatzklammer {eindimensionales} {} {} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $\R$ auffassen. Es sei \maabbele {} {[a,b]} {\R } {t} {t } {} der identische Weg. Zeige, dass das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} $\int_\gamma f$ mit dem \definitionsverweis {Integral}{}{} $\int_a^b f(t)dt$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zum eindimensionalen \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} { \R} { \R } {x} { x^3-4x+2 } {,} und zum Weg \maabbeledisp {\gamma} {[-3,2]} { \R } {t} { t^2+t-1 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {[2,7]} {\R^2
} {t} {\left( t^2-1,t+3 \right)
} {,}
gegeben. Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zum
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x,y)
}
{ =} { \left( y^2-x , \, -3xy-y^3 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {[1,6]} {\R^3
} {t} {{ \left( t^2,t^3,t \right) }
} {,}
gegeben. Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zum
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y,z)
}
{ =} { { \left( y^2-xz^2,xy,-3xz-y^3z \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das Wegintegral
\mathl{\int_\gamma F}{} zum Vektorfeld
\maabbeledisp {F} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(y,x)
} {,}
längs des Weges
\maabbeledisp {\gamma} {[-1,1]} {\R^2
} {t} {(t,e^t)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {[-1,1]} {\R^3
} {t} {{ \left( t^2,-t^2+1,t \right) }
} {,}
gegeben. Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zum
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y,z)
}
{ =} { { \left( y^2-xz,xyz,5x^2z-yz \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^3
} {t} {( \cos t , \sin t, t )
} {,}
gegeben. Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zum
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y,z)
}
{ =} { (y-z^3, x^2, -xz)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur archimedischen Spirale \maabbeledisp {} {[0, 2\pi]} {\R^2 } {t} {\left( t \cos t , \, t \sin t \right) } {,} im \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } { \left( x , \, y \right) } { \left( y , \, -x \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{a,b,c,d,r,s \geq 1}{}
\definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbeledisp {} {[0,1]} {\R^2
} {t} {(t^r,t^s)
} {.}
Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zum
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mathdisp {F(x,y) = (x^ay^b ,x^c y^d)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^2 } {t} {( \cos t , \sin t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zu den folgenden \definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{.}
a)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x,y)
}
{ = }{ (x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
b)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x,y)
}
{ = }{ (x,-y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
c)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x,y)
}
{ = }{ (y,x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x,y)
}
{ = }{ (y,-x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {F} {\R} {\R
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiges}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
und
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} { \R
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{.}
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu $F$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_\gamma F
}
{ =} { G( \gamma(b)) -G(\gamma (a))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {F} {\R^n } { \R^n
} {}
ein stetiges
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,}
wobei die $i$-te Komponente nur von der $i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{} nur von
\mathkor {} {\gamma(a)} {und} {\gamma(b)} {}
abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten das identische Vektorfeld
\maabbeledisp {F} {\R^n} {\R^n
} {P} {P
} {.}
Zeige, dass für je zwei Punkte
\mathl{P,Q \in \R^n}{} und für jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {\R^n
} {}
mit
\mathkor {} {\gamma(a)=P} {und} {\gamma(b)=Q} {}
das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{} gleich
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {Q} \Vert^2 - \Vert {P} \Vert^2 \right) }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabb {F} {\R^n } { \R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
aufgefasst als lineares
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Man gebe ein Beispiel für ein
\definitionsverweis {diagonalisierbares}{}{}
$F$
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und eine stetig differenzierbare Kurve
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} { \R^2
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(a)
}
{ = }{ \gamma(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart an, dass das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
$\int_\gamma F$ nicht $0$ ist.
} {Es sei nun $F$ diagonalisierbar bezüglich einer
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma F
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede stetig differenzierbare Kurve $\gamma$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(a)
}
{ = }{ \gamma(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{U \subseteq V}{} eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{,}
\maabbdisp {F,G} {U} {V
} {}
\definitionsverweis {stetige Vektorfelder}{}{}
und
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
eine
\zusatzklammer {stückweise} {} {}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Für
\mathl{r,s\in \R}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_\gamma rF+sG
}
{ =} { r \int_\gamma F + s \int_\gamma G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{- \gamma} F
}
{ =} {- \int_\gamma F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{- \gamma}{} den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.
}{Wenn
\maabbdisp {\delta} {[b,c]} {U
} {}
ein weiterer
\zusatzklammer {stückweise} {} {}
stetig differenzierbarer Weg mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta(b)
}
{ = }{ \gamma(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{\gamma * \delta} F
}
{ =} {\int_\gamma F + \int_\delta F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{\gamma * \delta}{} den aneinander gelegten Weg bezeichnet.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^3
} {t} { \left( t^2 , \, t^5-1 , \, t+ \sin t \right)
} {.}
Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 1 \end{pmatrix}} { . }
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über
\mathl{[a,b]}{,} und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zum eindimensionalen \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} { \R} { \R } {x} { x^3+5x^2-6 } {,} und zum Weg \maabbeledisp {\gamma} {[-1,3]} { \R } {t} { t^3+2t } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {[-2,5]} {\R^3
} {t} {\left( t^2 , \, -t^3 , \, t^2-t+4 \right)
} {,}
gegeben. Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zum
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y,z)
}
{ =} { \left( y^3-x^2z^2 , \, x^2y , \, 5x^3z-y^2z \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {\gamma} {[0,1]} {\R^3 } {t} {(t,-t,t^2) } {,} und das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} {(x^2,xz,y^2) } {.}
a) Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{.}
b) Es sei
\maabbeledisp {g} {[0, { \frac{ \pi }{ 2 } } ] } { [0,1]
} {s} { \sin s
} {,}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma}
}
{ = }{ \gamma \circ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne
\zusatzklammer {unabhängig von a)} {} {}
\mathl{\int_{\tilde{\gamma} } F}{}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} { { \left( x^2-e^y, xy + \cos x \right) } } {.} Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {F} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2
} { \left( x , \, y \right) } { \left( { \frac{ x^3-xy+2y^2 }{ x^2+y^2 } } , \, { \frac{ y }{ x^2+y^2 } } \right)
} {.}
Bestimme das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von
\mathl{(0,-2)}{} nach
\mathl{(3,4)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten das konstante
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {F} {\R^n} {\R^n
} {P} {v
} {.}
Zeige, dass für zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {[a,b]} {\R^n
} {} mit
\mathkor {} {\gamma(a)=P} {und} {\gamma(b)=Q} {}
das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{} gleich
\mathl{\left\langle Q-P , v \right\rangle}{} ist.
}
{} {}