Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 39

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Von einer Bewegung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

sei der Geschwindigkeitsverlauf

${}\varphi '(t)=\left({\frac {t^{2}-1}{t}},\,t\sin \left(t^{2}\right),\,te^{t}\right)\,$

bekannt. Ferner sei

${}\varphi (1)=(1,2,3)\,$

bekannt. Bestimme ${}\varphi (t)$.

Aufgabe

Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve

$[a,b]\longrightarrow V$

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ unabhängig von der gewählten Basis ist.

Aufgabe

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven

$g\colon I\longrightarrow V,$

wobei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{5}-1,\,t+\sin t\right).$

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

${\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}.$

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über ${}[a,b]$, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion, die wir als ein (eindimensionales) Vektorfeld auf ${}\mathbb {R}$ auffassen. Es sei ${}[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}t\longmapsto t$ der identische Weg. Zeige, dass das Wegintegral ${}\int _{\gamma }f$ mit dem Integral ${}\int _{a}^{b}f(t)dt$ übereinstimmt.

Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zum eindimensionalen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-4x+2,$

und zum Weg

$\gamma \colon [-3,2]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2}+t-1.$

Aufgabe

Es sei

$\gamma \colon [2,7]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2}-1,t+3\right),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${}F(x,y)=\left(y^{2}-x,\,-3xy-y^{3}\right)\,.$

Kommentar:

Für die Berechnung des Wegintegrals benötigen wir die Ableitung des Weges. Diese ist durch komponentenweises Differenzieren

$\gamma '(t)=(2t,1).$

Hiermit bekommen wir, durch Einsetzen in die Formel zur Berechnung des Wegintegrals,

$\int _{\gamma }F=\int _{2}^{7}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt$

$=\int _{2}^{7}\left\langle ((t+3)^{2}-(t^{2}-1),-3(t^{2}-1)(t+3)-(t+3)^{3}),(2t,1)\right\rangle dt.$

Nach Ausmultiplizieren und dem Ausrechnen des Skalarproduktes, erhalten wir

$\int _{\gamma }F=\int _{2}^{7}(-4t^{3}-6t^{2}-4t-18)dt,$

was sich nun leicht berechnen lässt.

 

Aufgabe

Es sei

$\gamma \colon [1,6]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},t^{3},t\right)},$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${}F(x,y,z)={\left(y^{2}-xz^{2},xy,-3xz-y^{3}z\right)}\,.$

Aufgabe *

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ zum Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (y,x),$

längs des Weges

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,e^{t}).$

Aufgabe *

Es sei

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}+1,t\right)},$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${}F(x,y,z)={\left(y^{2}-xz,xyz,5x^{2}z-yz\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${}F(x,y,z)=(y-z^{3},x^{2},-xz)\,.$

Aufgabe *

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

$[0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),$

im Vektorfeld

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(y,\,-x\right).$

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c,d,r,s\geq 1$ natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

$[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{r},t^{s}).$

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

$F(x,y)=(x^{a}y^{b},x^{c}y^{d}).$

Aufgabe

Es sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Vektorfeldern.

a) ${}F(x,y)=(x,y)$,

b) ${}F(x,y)=(x,-y)$,

c) ${}F(x,y)=(y,x)$,

d) ${}F(x,y)=(y,-x)$.

Aufgabe

Es sei

$F\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ein stetiges Vektorfeld und

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

ein stetig differenzierbarer Weg. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}F$. Zeige

${}\int _{\gamma }F=G(\gamma (b))-G(\gamma (a))\,.$

Aufgabe *

Es sei

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld, wobei die ${}i$-te Komponente nur von der ${}i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ abhängt.

Aufgabe

Wir betrachten das identische Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto P.$

Zeige, dass für je zwei Punkte ${}P,Q\in \mathbb {R} ^{n}$ und für jeden stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$ das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ gleich ${}{\frac {1}{2}}{\left(\Vert {Q}\Vert ^{2}-\Vert {P}\Vert ^{2}\right)}$ ist.

Kommentar:

Benutzen wir die Definition des Wegintegrals und die Tatsache, dass das Vektorfeld die Identität ist, erhalten wir

$\int _{\gamma }F=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt=\int _{a}^{b}\left\langle \gamma (t),\gamma '(t)\right\rangle dt.$

Würde das Skalarprodukt als Multiplikation interpretiert werden, sieht der Ausdruck unter dem Integral der Ableitung einer quadrierten Funktion sehr ähnlich. Denn für eine differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)$

gilt mit Hilfe der Kettenregel

$(f^{2})'=(f\cdot f)'=2\cdot f'\cdot f.$

Der Vorfaktor müsste nur noch angepasst werden. Dass dieser Zusammenhang auch für das Skalarprodukt stimmt, zeigen wir durch nachrechnen.

In der Standardbasis ist ${}\gamma (t)=(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))$ mit den Koordinatenfunktionen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$. Damit erhalten wir

$(\left\langle \gamma (t),\gamma (t)\right\rangle )'=(\gamma _{1}^{2}(t)+\gamma _{2}^{2}(t))'=2\gamma _{1}'(t)\cdot \gamma _{1}(t)+2\gamma _{2}'(t)\cdot \gamma _{2}(t)$

$=2(\gamma _{1}'(t)\cdot \gamma _{1}(t)+\gamma _{2}'(t)\cdot \gamma _{2}(t))=2\left\langle (\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t)),(\gamma _{1}'(t),\gamma _{2}'(t))\right\rangle$

Durch entsprechende Anpassung des Vorfaktors wissen wir demnach, dass ${}{\frac {1}{2}}\left\langle \gamma (t),\gamma (t)\right\rangle$ eine Stammfunktion des Ausdrucks unter dem Integral ist. Wir erhalten folglich

$\int _{\gamma }F={\frac {1}{2}}\left\langle \gamma (t),\gamma (t)\right\rangle \vert _{a}^{b}={\frac {1}{2}}(\left\langle Q,Q\right\rangle -\left\langle P,P\right\rangle )={\frac {1}{2}}(\Vert {Q}\Vert ^{2}-\Vert {P}\Vert ^{2}).$

 

Aufgabe *

Es sei ${}F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.

1. Man gebe ein Beispiel für ein diagonalisierbares ${}F$ (mit ${}n=2$) und eine stetig differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   mit ${}\gamma (a)=\gamma (b)$ derart an, dass das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ nicht ${}0$ ist.

2. Es sei nun ${}F$ diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis. Zeige, dass

   ${}\int _{\gamma }F=0\,$

   für jede stetig differenzierbare Kurve ${}\gamma$ mit ${}\gamma (a)=\gamma (b)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

$F,G\colon U\longrightarrow V$

stetige Vektorfelder und

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für ${}r,s\in \mathbb {R}$ ist

   ${}\int _{\gamma }rF+sG=r\int _{\gamma }F+s\int _{\gamma }G\,.$

2. Es ist

   ${}\int _{-\gamma }F=-\int _{\gamma }F\,,$

   wobei ${}-\gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

3. Wenn

   $\delta \colon [b,c]\longrightarrow U$

   ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ${}\delta (b)=\gamma (b)$ ist, so ist

   ${}\int _{\gamma *\delta }F=\int _{\gamma }F+\int _{\delta }F\,,$

   wobei ${}\gamma *\delta$ den aneinander gelegten Weg bezeichnet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{5}-1,\,t+\sin t\right).$

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

${\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}.$

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über ${}[a,b]$, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum eindimensionalen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}+5x^{2}-6,$

und zum Weg

$\gamma \colon [-1,3]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{3}+2t.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\gamma \colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,-t^{3},\,t^{2}-t+4\right),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${}F(x,y,z)=\left(y^{3}-x^{2}z^{2},\,x^{2}y,\,5x^{3}z-y^{2}z\right)\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (t,-t,t^{2}),$

und das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2},xz,y^{2}).$

a) Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$.

b) Es sei

$g\colon [0,{\frac {\pi }{2}}]\longrightarrow [0,1],\,s\longmapsto \sin s,$

und ${}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$. Berechne (unabhängig von a)) ${}\int _{\tilde {\gamma }}F$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{2}-e^{y},xy+\cos x\right)}.$

Bestimme das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{3}-xy+2y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},\,{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right).$

Bestimme das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von ${}(0,-2)$ nach ${}(3,4)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das konstante Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto v.$

Zeige, dass für zwei Punkte ${}P,Q\in \mathbb {R} ^{n}$ und jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$ das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ gleich ${}\left\langle Q-P,v\right\rangle$ ist.