Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 39



Übungsaufgaben

Aufgabe *

Von einer Bewegung

sei der Geschwindigkeitsverlauf

bekannt. Ferner sei

bekannt. Bestimme .


Aufgabe

Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum unabhängig von der gewählten Basis ist.


Aufgabe

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven

wobei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.


Aufgabe

Es sei eine stetige Funktion, die wir als ein (eindimensionales) Vektorfeld auf auffassen. Es sei , der identische Weg. Zeige, dass das Wegintegral mit dem Integral übereinstimmt.


Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zum eindimensionalen Vektorfeld

und zum Weg


Aufgabe

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe *

Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges


Aufgabe *

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe *

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

im Vektorfeld


Aufgabe

Es seien natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Vektorfeldern.

a) ,

b) ,

c) ,

d) .


Aufgabe

Es sei

ein stetiges Vektorfeld und

ein stetig differenzierbarer Weg. Es sei eine Stammfunktion zu . Zeige


Aufgabe *

Es sei

ein stetiges Vektorfeld, wobei die -te Komponente nur von der -ten Variabeln abhängen möge. Es sei

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral nur von und abhängt.


Aufgabe

Wir betrachten das identische Vektorfeld

Zeige, dass für je zwei Punkte und für jeden stetig differenzierbaren Weg

mit und das Wegintegral gleich ist.


Aufgabe *

Es sei eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.

  1. Man gebe ein Beispiel für ein diagonalisierbares (mit ) und eine stetig differenzierbare Kurve

    mit derart an, dass das Wegintegral nicht ist.

  2. Es sei nun diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis. Zeige, dass

    für jede stetig differenzierbare Kurve mit ist.


Aufgabe

Es sei eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

stetige Vektorfelder und

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Für ist
  2. Es ist

    wobei den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

  3. Wenn

    ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ist, so ist

    wobei den aneinander gelegten Weg bezeichnet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum eindimensionalen Vektorfeld

und zum Weg


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

und das Vektorfeld

a) Berechne das Wegintegral .

b) Es sei

und . Berechne (unabhängig von a))


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von nach .


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das konstante Vektorfeld

Zeige, dass für zwei Punkte und jeden stetig differenzierbaren Weg mit und das Wegintegral gleich ist.



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